专项17 锐角三角函数实际应用-背靠背模型-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项17 锐角三角函数实际应用-背靠背模型 通过在三角形内作高CD，构造出两个直角三角形求解，其中公共边CD是解题的关键.在Rt△ACD和Rt△BCD中，CD为公共边，AD+BD=AB.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：”背靠背”型的关键是找到两个直角三角形内的公共高 1．（2022•二道区校级开学）如图所示的衣架可以近似看成一个等腰三角形ABC，其中AB＝AC，∠ABC＝27°，BC＝36cm，则高AD约为（　　）（参考数据：sin27°≈0.45，cos27°≈0.89，tan27°≈0.51） A．8.10cm B．11.22cm C．9.18cm D．16.02cm 【答案】C 【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，BC＝36cm， ∴BD＝BC＝18cm． 在Rt△ABD中， ∵tan∠ABC＝，∠ABC＝27°， ∴AD＝tan∠ABC×BD ≈0.51×18 ＝9.18（cm）． 故选：C． 2．（2022•贵港）如图，某数学兴趣小组测量一棵树CD的高度，在点A处测得树顶C的仰角为45°，在点B处测得树顶C的仰角为60°，且A，B，D三点在同一直线上，若AB＝16m，则这棵树CD的高度是（　　） A．8（3﹣）m B．8（3+）m C．6（3﹣）m D．6（3+）m 【答案】A 【解答】解：设AD＝x米， ∵AB＝16米， ∴BD＝AB﹣AD＝（16﹣x）米， 在Rt△ADC中，∠A＝45°， ∴CD＝AD•tan45°＝x（米）， 在Rt△CDB中，∠B＝60°， ∴tan60°＝＝＝， ∴x＝24﹣8， 经检验：x＝24﹣8是原方程的根， ∴CD＝24﹣8＝8（3﹣））米， ∴这棵树CD的高度是8（3﹣）米， 故选：A． 3．（2022•毕节市）如图，某地修建的一座建筑物的截面图的高BC＝5m，坡面AB的坡度为1：，则AB的长度为（　　） A．10m B．10m C．5m D．5m 【答案】A 【解答】解：∵坡面AB的坡度为＝＝1：， ∴AC＝5m， ∴AB＝＝10m． 故选：A． 4．（2022•抚顺县模拟）如图，某景区的两个景点A、B处于同一水平地面上、一架无人机在空中沿MW方向水平飞行进行航拍作业，MN与AB在同一铅直平面内，当无人机飞行至C处时、测得景点A的俯角为45°，景点B的俯角为30°，此时C到地面的距离CD为100米，则两景点A、B间的距离为（　　）米．（结果保留根号）． A．200 B．300 C．100+100 D．100+ 【答案】C 【解答】解：∵∠MCA＝45°，∠NCB＝30°， ∴∠ACD＝45°，∠DCB＝60°，∠B＝30°， ∵CD＝100米， ∴AD＝CD＝100米，DB＝CD＝100（米）， ∴AB＝AD+DB＝（100+100）（米）． 故选：C． 5．（2022•陕西）如图，AD是△ABC的高．若BD＝2CD＝6，tan∠C＝2，则边AB的长为（　　） A．3 B．3 C．6 D．3 【答案】C 【解答】解：∵BD＝2CD＝6， ∴CD＝3，BD＝6， ∵tanC＝＝2， ∴AD＝6， ∴AB＝AD＝6 故选：C． 6．（2022•天河区校级二模）将一根橡皮筋两端固定在点A，B处，拉展成线段AB，拉动橡皮筋上的一点P，当△APB是顶角为120°的等腰三角形时，已知AB＝6cm，则橡皮筋被拉长了（　　） A．2cm B．4cm C． D． 【答案】C 【解答】解：如图，过点P作PC⊥AB于点C， ∵△APB是等腰三角形，且∠APB＝120°， ∴∠APC＝120°÷2＝60°，AC＝6÷2＝3cm，AP＝BP， ∴在Rt△APC中，AP＝＝＝2cm， ∴橡皮筋被拉长了：2×2﹣6＝（4﹣6）cm． 故选：C． 7．（2022•永嘉县模拟）如图，小华在屋顶D点时，测得对面图书馆顶部B的仰角为α，图书馆底部A的俯角为β，若这两幢楼的距离AC＝32米，则图书馆楼高AB等于（　　） A．（32sinα+32sinβ）米 B．（32tanα+32tanβ）米 C．（+32tanβ）米 D．（32tanα+）米 【答案】B 【解答】解：如图，根据题意可知：DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中 ∵∠BDE＝α，DE＝AC＝32米， ∴BE＝DE•tanα＝32tanα（米）， 在Rt△ADE中， ∵∠ADE＝β，DE＝AC＝32米， ∴AE＝DE•tanβ＝32tanβ（米）， ∴AB＝BE+AE＝（32tanα+32tanβ）米， 则图书馆楼高AB等于（32tanα+32tanβ）米． 故选：B． 8．（2022•历下区一模）如图，甲、乙两楼的距离AC＝30m，甲楼高AB＝20m，自甲楼楼顶的B处看乙楼楼顶的D处，仰角为28°，则乙楼的高CD为（　　）m．（结果精