专项20 锐角三角函数实际应用-拥抱型-2022-2023学年九年级数学下册高分突破必练专题（北师大版）

专项20 锐角三角函数实际应用-拥抱型 分别解两个直角三角形，其中公共边BC是解题的关键.在Rt△ABC和Rt△DCB中，BC=BC.图形演变及对应的数量关系如下： 特别提醒：“面对面”型关键是找到两个直角三角形的公共边 1．（2022•江汉区模拟）数学小组的两位同学准备测量两幢教学楼之间的距离．如图，两幢教学楼AB和CD之间有一景观池（AB⊥BD，CD⊥BD），一同学在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°．另一同学在C点测得E点的俯角为45°（点B，E，D在同一直线上），两个同学在学校资料室查出楼高AB＝15m，CD＝20m，则两幢教学楼之间的距离BD约为 　 　m．（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 【答案】36.7． 【解答】解：由题意可得∠AEB＝42°，∠CED＝45°， 在Rt△ABE中，tan42°＝≈0.90， 解得BE≈16.7， 在Rt△CDE中，∠CED＝45°， ∴CD＝DE＝20m， ∴BD＝BE+DE≈36.7m． 故答案为：36.7． 2．（2022•包河区三模）如图，校园内两栋教学楼AB和CD之间有一棵古树EF，从楼顶C处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的底部B点且俯角α为30°，从教学楼CD的底部D处经过树顶E点恰好看到教学楼AB的顶部A点，且仰角β为53°，已知树高EF＝6米，求DF的长及教学楼AB的高度．（结果精确到0.1米，参考数据：＝1.73、sin53°≈、cos53°≈、tan53°≈） 【解答】解：由题意可得∠CBD＝30°，∠ADB＝53°， 在Rt△DEF中，EF＝6米， tan∠ADB＝tan53°＝≈， tan∠CBD＝tan30°＝， 解得DF＝4.5，BF＝6， ∴BD＝BF+DF＝（4.5+6）米， 在Rt△ABD中， tan∠ADB＝tan53°＝≈， 解得AB＝6+8≈19.8， ∴DF的长约为4.5米，教学楼AB的高度约为19.8米． 3．（凉山州）如图，在楼房AB和塔CD之间有一棵树EF，从楼顶A处经过树顶E点恰好看到塔的底部D点，且俯角α为45°．从距离楼底B点1米的P点处经过树顶E点恰好看到塔的顶部C点，且仰角β为30°．已知树高EF＝6米，求塔CD的高度．（结果保留根号） 【解答】解：由题意可知∠BAD＝∠ADB＝45°， ∴FD＝EF＝6米， 在Rt△PEH中，∵tanβ＝＝， ∴BF＝＝5（米）， ∴PG＝BD＝BF+FD＝5+6（米）， 在RT△PCG中，∵tanβ＝， ∴CG＝（5+6）•＝5+2（米）， ∴CD＝（6+2）米． 4．（2022•长沙一模）长沙电视塔位于长沙市岳麓区岳麓山峰顶，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身，登塔可鸟瞰长沙全貌．为测量电视塔的高度，数学综合实践小组同学先在电视塔附近一栋楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°，然后在安全人员的引导下去该楼房顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°．已知楼房高AB约是24m．（结果用根号表示） （1）求楼房与电视塔底部距离AD的长； （2）求电视塔的高度． 【解答】解：（1）∵顶端B点处观测电视塔底部D处的俯角是30°， ∴∠ADB＝30°， 在Rt△ABD中，AB＝24m， ∵tan∠ADB＝＝tan30°＝， ∴AD＝AB＝24（m）， 答：楼房与电视塔底部距离AD的长为24m； （2）∵在一楼房的底端A点处观测电视塔顶端C处的仰角是60°， ∴∠CAD＝60°， 在Rt△ACD中，tan∠CAD＝＝tan60°＝， ∴CD＝AD＝×24＝72（m）． 答：电视塔的高度为72m． 5．（2022•巴中模拟）如图，小明和小亮周末到巴人广场测量两栋楼AB和CD的高度，小明将木杆EF放在楼AB和CD之间（垂直于水平面），小亮将测角仪放在G处（A、F、G三点在一条直线上），测得楼AB顶部的仰角∠AGB＝30°，再将测角仪放在H处（D、F、H三点在一条直线上），测得楼CD顶部的仰角∠DHC＝60°，同时测得BE＝15m，CE＝14m，EG＝6m．（点A、B、C、D、E、F、G、H均在同一平面内，结果精确到0.1米，≈1.732） （1）求楼AB的高度； （2）求楼CD的高度． 【解答】解：（1）∵BE＝15m，EG＝6m， ∴BG＝BE+EG＝21m， 在Rt△ABG中，∠ABG＝90°，∠AGB＝30°， ∴AB＝BG•tan30°＝21×＝7≈12.1（m）， ∴楼AB的高度约为12.1m； （2）在Rt△FEG中，∠FEG＝90°，∠FGE＝30°， ∴EF＝EG•tan30°＝6×＝2（m）， 在Rt△FEH中，∠FEH＝90°，∠FHE＝60°， ∴HE＝＝＝2（m）， ∴HC＝H