6.3.3 空间角的计算（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第二册（苏教版2019）

6．3.3　空间角的计算 空间角 1．判断正误 (1)两异面直线所成的角与两直线的方向向量所成的角相等． (　 ) (2)直线l与平面α的法向量的夹角的余角就是直线l与平面α所成的角． (　 ) (3)若二面角α-l-β的大小为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则θ＝〈n1，n2〉． (　 ) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 答案：A 3．已知两平面的法向量分别为m＝(0,1,0)，n＝(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为 (　 ) A．45° B．135° C．45°或135° D．90° 答案：C [对点训练] 如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AB∥CD，DC＝2，AA1＝3， AB＝BC＝AD＝1，点E和F分别在侧棱AA1，CC1上，且A1E＝CF＝1. 求直线AD与平面D1EF所成角的正弦值． [解]　(1)证明：因为四边形ACC1A1和四边形BDD1B1均为矩形，所以CC1⊥AC，DD1⊥BD， 又CC1∥DD1∥OO1，所以OO1⊥AC，OO1⊥BD， 因为AC∩BD＝O，所以O1O⊥底面ABCD. (2)因为四棱柱的所有棱长都相等，所以四边形ABCD为菱形，AC⊥BD.又O1O⊥底面ABCD，所以OB，OC，OO1两两垂直．如图，以O为原点，OB，OC，OO1所在直线分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系． [拓展] 本例条件不变，求二面角B-A1C-D的余弦值． 2．利用法向量求二面角的大小的一般步骤 [对点训练] (2022·新高考Ⅱ卷)如图，PO是三棱锥P-ABC的高，PA＝ PB，AB⊥AC，E为PB的中点． (1)证明：OE∥平面PAC； (2)若∠ABO＝∠CBO＝30°，PO＝3，PA＝5，求二面角C-AE-B的正弦值． 解：(1)证明：如图，取AB的中点D，连接DP，DO，DE. 因为AP＝PB，所以PD⊥AB. 因为PO为三棱锥P-ABC的高，所以PO⊥平面ABC， 因为AB⊂平面ABC，所以PO⊥AB. 又PO，PD⊂平面POD，且PO∩PD＝P，所以AB⊥平面POD. 一、在典题训练中内化学科素养 夹角问题是立体几何中一类重要题型，夹角的计算在高考中考查力度大，较多采用向量法解决问题．解题的关键是建立适当的空间直角坐标系，并正确进行向量的坐标运算．在求解过程中体现了对直观想象、数学运算等核心素养的考查． 1．(2021·新高考Ⅰ卷)如图，在三棱锥A-BCD中，平面ABD⊥平 面BCD，AB＝AD，O为BD的中点． (1)证明：OA⊥CD； (2)若△OCD是边长为1的等边三角形，点E在棱AD上，DE＝2EA，且二面角E-BC-D的大小为45°，求三棱锥A-BCD的体积． 解：(1)证明：如图所示，取AB中点为O，连接DO，CO，则OB＝DC＝1. 又DC∥OB，所以四边形DCBO为平行四边形． 又BC＝OB＝1， 所以四边形DCBO为菱形，所以BD⊥CO. 同理可得，四边形DCOA为菱形，所以AD∥CO， 所以BD⊥AD. 内化素养 直观想象 由题意和几何体的形状，由空间几何体的直观图分析空间直线与平面的位置关系等 逻辑推理 由题意及相关定理转化为向量间关系问题 数学运算 空间向量的坐标运算，解方程组，以及数字运算等 2．已知ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，设PA＝AB＝a，AD＝2a，则二面角B-PC-D的余弦值为________． 4．已知点D，E是边长为12的等边三角形ABC的两边AB，AC的中点，沿DE折叠△ADE，使得二面角A-DE-B为60°，则四棱锥A-BCED外接球的表面积为________． ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(八)” (单击进入电子文档) 41 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.能用向量方法解决简单夹角问题． 2．通过用空间向量解决夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 重点 难点 重点：利用空间向量求空间角． 难点：利用空间向量求空间角. eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·b,|a||b|))) |cos〈a，n〉| eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))) eq \b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(a·n,|a||n|))) cos〈n1，n2〉 cos(π－〈n1，n2〉) 角的分类 向量求法 范围 异面直线 所成的角 设两条异面直线所成的角为θ，它们的方向向量分别为a，b，则cos θ＝ ＝ _______ 直线与 平面所成 的角 设直线l与平面α所成的角为θ，l的方向向量为