第四章 数列知识总结

第四章 数列 要点一：数列的通项公式 数列的通项公式 一个数列的第n项与项数n之间的函数关系，如果可以用一个公式来表示，我们就把这个公式叫做这个数列的通项公式. 要点诠释： ①不是每个数列都能写出它的通项公式.如数列1，2，3，―1，4，―2，就写不出通项公式； ②有的数列虽然有通项公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：数列―1，1，―1，1，…的通项公式可以写成，也可以写成； ③仅仅知道一个数列的前面的有限项，无其他说明，数列是不能确定的. 通项与前n项和的关系： 任意数列的前n项和； 要点诠释： 由前n项和求数列通项时，要分三步进行： （1）求， （2）求出当n≥2时的， （3）如果令n≥2时得出的中的n=1时有成立，则最后的通项公式可以统一写成一个形式，否则就只能写成分段的形式. 数列的递推式： 如果已知数列的第一项或前若干项，且任一项与它的前一项或前若干项间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式，简称递推式. 要点诠释： 利用递推关系表示数列时，需要有相应个数的初始值，可用凑配法、换元法等. 要点二：等差数列 判定一个数列为等差数列的常用方法 ①定义法：（常数）是等差数列； ②中项公式法：是等差数列； ③通项公式法：（p，q为常数）是等差数列； ④前n项和公式法：（A，B为常数）是等差数列. 要点诠释：对于探索性较强的问题，则应注意从特例入手，归纳猜想一般特性. 等差数列的有关性质： （1）通项公式的推广： （2）若，则； 特别，若，则 （3）等差数列中，若. （4）公差为d的等差数列中，连续k项和，… 组成新的等差数列. （5）等差数列，前n项和为 ①当n为奇数时，；；； ②当n为偶数时，；；. （6）等差数列，前n项和为，则（m、n∈N*，且m≠n）. （7）等差数列中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），则. （8）等差数列中，公差d，依次每k项和：，，成等差数列，新公差. 等差数列前n项和的最值问题： 等差数列中 ①若a1＞0，d＜0，有最大值，可由不等式组来确定n； ②若a1＜0，d＞0，有最小值，可由不等式组来确定n，也可由前n项和公式来确定n. 要点诠释：等差数列的求和中的函数思想是解决最值问题的基本方法. 要点三 ：等比数列 判定一个数列是等比数列的常用方法 （1）定义法：（q是不为0的常数，n∈N*）是等比数列； （2）通项公式法：（c、q均是不为0的常数n∈N*）是等比数列； （3）中项公式法：（，）是等比数列. 等比数列的主要性质： （1）通项公式的推广： （2）若，则. 特别，若，则 （3）等比数列中，若. （4）公比为q的等比数列中，连续k项和，… 组成新的等比数列. （5）等比数列，前n项和为，当n为偶数时，. （6）等比数列中，公比为q，依次每k项和：，，…成公比为qk的等比数列. （7）若为正项等比数列，则（a＞0且a≠1）为等差数列；反之，若为等差数列，则（a＞0且a≠1）为等比数列. （8）等比数列前n项积为，则 等比数列的通项公式与函数： ①方程观点：知二求一； ②函数观点： 时，是关于n的指数型函数； 时，是常数函数； 要点诠释： 当时，若，等比数列是递增数列；若，等比数列是递减数列； 当时，若，等比数列是递减数列；若，等比数列是递增数列； 当时，等比数列是摆动数列； 当时，等比数列是非零常数列. 要点四：常见的数列求和方法 公式法： 如果一个数列是等差数列或者等比数列，直接用其前n项和公式求和. 分组求和法： 将通项拆开成等差数列和等比数列相加或相减的形式，然后分别对等差数列和等比数列求和.如：an=2n+3n. 裂项相消求和法： 把数列的通项拆成两项之差，正负相消，剩下首尾若干项的方法.一般通项的分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式. 若，分子为非零常数，分母为非常数列的等差数列的两项积的形式, 则，如an= 错位相减求和法： 通项为非常数列的等差数列与等比数列的对应项的积的形式：, 其中 是公差d≠0等差数列，是公比q≠1等比数列，如an=(2n-1)2n. 一般步骤： ，则 所以有 要点诠释：求和中观察数列的类型，选择合适的变形手段，注意错位相减中变形的要点. 要点五：数列应用问题 数列应用问题是中学数学教学与研究的一个重要内容,解答数学应用问题的核心是建立数学模型,有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型. 建立数学模型的一般方法步骤. ①认真审题，准确理解题意，达到如下要求： ⑴明确问题属于哪类应用问题； ⑵弄清题目中的主要已知事项； ⑶明确所求的结论是什么. ②抓住数量关系，联想数学知识和数学方法，恰当引入参数变量或适当建立坐标系，将文字