第一章 1.2 1.2.3 直线与平面的夹角-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】创新导学案课件PPT（人教B版）

1.2　空间向量在立体几何中的应用 1.2.3　直线与平面的夹角 第一章　空间向量与立体几何 课程标准：1.能用向量语言表述直线与平面的夹角.2.能用向量方法解决直线与平面的夹角问题，体会向量方法在研究几何问题中的作用． 教学重点：求线面角的常用方法． 教学难点：能利用几何关系确定斜线的射影以及公式cosθ＝cosθ1cosθ2中各角的含义． 核心素养：通过学习斜线与平面所成的角的概念及性质培养数学抽象素养和逻辑推理素养. 1 核心概念掌握 PART ONE 知识点一　直线与平面所成的角 (1)定义 平面 最小的角 sin〈v，n〉 |cos〈v，n〉| 2．对公式cosθ＝cosθ1cosθ2的理解 由0≤cosθ2≤1，得cosθ≤cosθ1，从而θ1≤θ. 在公式中，令θ2＝90°，则cosθ＝cosθ1cos90°＝0. ∴θ＝90°.此即三垂线定理，反之，若θ＝90°，可知θ2＝90°，即为三垂线定理的逆定理，即三垂线定理及其逆定理可看成此公式的特例． × × √ √ 答案 3 2 核心素养形成 PART TWO 例1　在正四面体A－BCD中，E为棱AD的中点，连接CE，求CE与平面BCD所成角的正弦值． [解]　如图所示，过A，E分别作AO⊥平面BCD，EG⊥平面BCD，O，G为垂足． 解 题型一 用定义法求线面角 解 解 在求解斜线和平面所成的角的过程中，确定点在平面内的射影的位置是一个既基本又重要的问题，确定点在平面内的射影的位置有以下几种方法： (1)斜线上任意一点在平面内的射影必在斜线的射影上； (2)利用已知的垂直关系得出线面垂直，确定射影． 答案　30° [跟踪训练1]　如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A1B和平面A1B1CD所成的角为________. 答案 解 题型二 公式cosθ＝cosθ1cosθ2的应用 证明 (1)公式cosθ＝cosθ1cosθ2在解题时经常用到，可用来求线面角θ1，在应用公式时，一定要分清θ，θ1，θ2分别对应图形中的哪个角，否则极易出错． (2)常用的一个结论：若∠AOB＝∠AOC，且AO为平面BOC的一条斜线，则AO在平面BOC内的射影平分∠BOC及其对顶角． 解 题型三 用向量法求线面角 解 解 解 解 用向量法求线面角的一般步骤是先利用图形的几何特征建立适当的空间直角坐标系，再用向量的有关知识求解线面角．用向量法求线面角的常用方法，即先求平面法向量与斜线的方向向量的夹角，再进行换算． 解 解 解 3 随堂水平达标 PART THREE 答案 解析 2．如图，AB⊥平面α于B，BC为AC在α内的射影，CD在α内，若∠ACD＝60°，∠BCD＝45°，则AC与平面α所成的角为(　　) A．15° B．30° C．45° D．60° 答案 解析 答案 解析 解析 4.如图，正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，E，F，G分别为AB，AA1，A1C1的中点，则B1F与平面GEF所成角的正弦值为________. 答案 解析 解析 5．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.PD＝DC，E是PC的中点．求EB与平面ABCD夹角的余弦值． 解 解 4 课后课时精练 PART FOUR 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 解析 答案 解析 解析 答案　45° 二、填空题 6．等腰直角三角形ABC的斜边AB在平面α内，若AC与α成30°角，则斜边上的中线CM与平面α所成角的大小为________. 答案 解析 7．如图，已知四边形ABCD为圆柱的轴截面，AB＝BC＝2，E，F为上底圆上的两个动点，且EF过圆心G，当三棱锥A－BEF的体积最大时，直线AC与平面BEF所成角的正弦值为________. 答案 解析 解析 解析 解 解 10.如右图所示，正方形ACDE所在的平面与平面ABC垂直，M是CE与AD的交点，AC⊥BC，且AC＝BC. (1)求证：AM⊥平面EBC； (2)求直线AB与平面EBC所成角的大小． 解 解 解 B级：“四能”提升训练 1．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，∠BAC＝90°，D，E，F分别是AB，BC，CP的中点，AB＝AC＝1，PA＝2，求PA与平面DEF夹角的正弦值． 解　如图，建立空间直角坐标系Axyz. 解析 解 解 解 解 解 解 解 解 本课结束 引进了平面的斜线与平面所成的角之后，空间中任意一条直线与任意一个平面所成的角的大小都是确定的，直线与平面所成的角也称