4.2.2 等差数列的前n项和（精讲）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2 等差数列的前n项和（精讲） 考点一 等差数列基本量的计算 【例1-1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为． (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【答案】(1)44(2)(3)370(4)-42 【解析】(1)等差数列中，，， ，解得，．． (2) 等差数列中，，，，即得 ， 解得． (3)等差数列中，，， ，解得，，． (4)等差数列中，，，，，成等差数列， ，即，解得． 【例1-2】（2022年1月广东省普通高中学业水平合格性考试数学试题）古代《九章算术》记载：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等，问各得几何”其意思为：“今有人分钱，各人所得钱数依次成等差数列，其中前人所得之和与后人所得之和相等，问各得多少钱”.由此可知第一人分得的钱数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设第分到钱，设数列的公差为， 由题意可得，所以，，解得.故选：A. 【一隅三反】 1．（2022·江苏南京）设为等差数列的前项和，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得：设等差数列的通项公式为，则 解得：故选：B 2．（2021·江苏省震泽中学高二月考）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且下比中层多729块，则第三层（即下层）共有扇面形石板（ ） A．1539块 B．1863块 C．3402块 D．3339块 【答案】C 【解析】由题意可知，从上到下，从内到外，每环的扇面形石板数构成以9为首项，9为公差的等差数列，设为，设上层有环，则上层扇面形石板总数为，中层扇面形石板总数为，下层扇面形石板总数为，三层扇面形石板总数为，因为是等差数列，所以构成等差数列，公差为，因为下层比中层多729块，所以，解得：，所以. 故选：C 3．（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为． (1)已知，求； (2)已知，求； (3)已知，求； (4)已知，，求． 【答案】(1)(2)(3)(4) 【解析】(1)在等差数列的前n项和为且， 由等差数列的前项和公式，可得. (2)在等差数列的前n项和为且， 由等差数列的性质可得， 又由等差数列的前项和公式，可得. (3)解：在等差数列的前n项和为且， 由等差数列的前项和公式，可得，解得， 又由等差数列的性质可得. (4)解：在等差数列的前n项和为且， 根据等差数列的前项和的性质，可得构成等差数列， 因为，即构成的等差数列， 所以，解得. 考点二 等差数列前n项和与中项性质 【例2-1】（2022·辽宁）若等差数列和的前项的和分别是和，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为和是等差数列,故故选:C 【例2-2】（2022·北京·北理工附中高二期中）已知两等差数列，，前n项和分别是，，且满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】两等差数列，，前n项和分别是，，满足， 所以.故选：B 【例2-3】（2022·安徽宿州·高二期中）已知两个等差数列和的前n项和分别为和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由．故选：D 【例2-4】（2022·辽宁·沈阳二中高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D．3 【答案】B 【解析】由等差数列的前项和公式满足形式，设，则，故.故选：B. 【一隅三反】 1．（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）设等差数列，的前n项和分别是，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为等差数列，的前n项和分别是， 所以. 故选：B 2．（2022·海南华侨中学高二期末）设等差数列与等差数列的前n项和分别为，，若对任意自然数n都有，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由题意，.故选：C. 3．（2022·全国·高二课时练习）两个等差数列和的前项和分别为、，且，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】两个等差数列和的前项和分别为、，且， 所以. 故选：A 4．（2022·安徽滁州·高二期中）设是等差数列的前n项和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】在等差数列中，由，得，故选：B 5．（2022·浙江·杭州市富阳区第二中学高二阶段练习）已知分别是等差数列的前项和，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】分别是等差数列