4.2.1 等差数列的概念（精讲）-2022-2023学年高二数学一隅三反系列（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.1 等差数列的概念（精讲） 考点一 等差数列基本量的计算 【例1-1】（2022·湖北·武汉情智学校高二阶段练习）在等差数列中， (1)已知，，求和公差d； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【答案】(1)，；(2)(3)28(4)17. 【解析】(1)，，； (2)，，； (3)，，； (4)，，上两式联立：，，； 故答案为：，，-12，28，17. 【例1-2】（2022·甘肃·庆阳第六中学高二阶段练习）在等差数列中，，． (1)求的通项公式； (2)判断96是不是数列中的项？ 【答案】(1)；(2)不是. 【解析】（1）设等差数列的公差为，则，而，于是得，， 所以数列的通项公式是. （2）由（1）知，，由得：不是正整数，所以96不是数列中的项. 【一隅三反】 1．（2022·江苏·高二课时练习）等差数列的首项为，公差为d，项数为． (1)已知，，，求； (2)已知，，，求； (3)已知，，，求d； (4)已知，，，求． 【答案】(1)13(2)8(3)(4) 【解析】(1)解：因为数列为等差数列，，，， 所以，所以； (2)解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得； (3)解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得； (4)解：因为数列为等差数列，，，， 所以，解得. 2．（2022·全国·高二课时练习）已知为等差数列，且以，，若在每相邻两项之间插入三个数，使它和原数列的数构成一个新的等差数列，求： (1)原数列的第12项是新数列的第几项？ (2)新数列的第29项是原数列的第几项？ 【答案】(1)第45项(2)第8项． 【解析】（1）设新数列为，则，， 根据，有，即， 所以，所以． 又因为，所以． 即原数列的第n项为新数列的第项． 当时，，故原数列的第12项为新数列的第45项． （2）由(1) ，令，得，即新数列的第29项是原数列的第8项． 考点二 等差中项及应用 【例2-1】（2022·广东肇庆·高二期末）在等差数列中，，则（    ） A．14 B．16 C．18 D．28 【答案】A 【解析】因为等差数列中，，，故选：A. 【例2-2】（2021·江苏省灌南高级中学高二期中）在等差数列{an}中，a2、a4是方程的两根，则a3的值为（　　） A．2 B．3 C．±2 D． 【答案】D 【解析】由题意可得：∵{an}为等差数列，则∴故选：D. 【例2-3】（2022·江苏）在等差数列中，已知 ，则等于（　　） A．40 B．42 C．43 D．45 【答案】B 【解析】由题意得等差数列中，已知， 设公差为d，则，故    ，故选：B 【一隅三反】 1．（2022·四川省）等差数列的前三项依次为x，，，则x的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，解得；故选：D 2．（2022·辽宁省实验中学东戴河分校高三阶段练习）已知数列为等差数列，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为数列为等差数列，且所以，解得， 所以.故选：C 3．（2022·全国·高二课时练习）（多选）已知等差数列满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【解析】根据等差数列的性质，得， 因为，所以，所以，故选：CD. 4．（2022·全国·高二课时练习）（多选）设x是a与b的等差中项，是与的等差中项，则a与b的关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】由等差中项的定义知，，所以，即， 所以，故或.故选：AB 考点三 等差数列的证明或判断 【例3-1】（2022广东）（多选）下列数列中，是等差数列的是（ ） A．1，4，7，10 B． C． D．10，8，6，4，2 【答案】ABD 【解析】根据等差数列的定义，可得： A中，满足(常数)，所以是等差数列； B中，满足(常数)，所以是等差数列； C中，因为，不满足等差数列的定义，所以不是等差数列； D中，满足(常数)，所以是等差数列. 故选：ABD. 【例3-2】（2022·陕西·西北农林科技大学附中）已知数列满足，. (1)求､､； (2)求证：数列是等差数列，并求出数列的通项公式. 【答案】(1)，，； (2)证明见解析，. 【解析】(1)由得， 代入，n依次取值2，3，4，得 ，，. (2)证明：由变形，得， 即，所以是等差数列. 由，所以，变形得， 所以. 【一隅三反】 1.（2021·全国高二课时练习）（多选）下列数列是等差数列的是（ ） A．0，0，0，0，0，… B．1，l，111，111l，… C． －5，－3，－1，1，3，… D．1，2，3，5，8，… 【答案】AC 【解析】根据等差数列的定义可知A，C中的数列是等差数列，而BD中，从第2项