课后提升练(八) 指数函数与对数函数的关系（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第二册（人教B版2019）

课后提升练(八)　指数函数与对数函数的关系 [对应学生用书P133] 1．函数y＝－(x≠－1)的反函数是(　　) A．y＝－－1(x≠0)　　 B．y＝－＋1(x≠0) C．y＝－x＋1(x∈R) D．y＝－x－1(x∈R) A　解析：y＝－(x≠－1)⇒x＋1＝－⇒x＝－1－，x、y交换位置，得y＝－1－(x≠0). 2．函数y＝log2(x＋1)＋1(x＞0)的反函数为(　　) A．y＝2x－1－1(x＞1) B．y＝2x－1＋1(x＞1) C．y＝2x＋1－1(x＞0) D．y＝2x＋1＋1(x＞0) A　解析：函数y＝log2(x＋1)＋1(x＞0)的值域为{y|y＞1}，由y＝log2(x＋1)＋1， 解得x＝2y－1－1. ∴函数y＝log2(x＋1)＋1(x＞0)的反函数为y＝2x－1－1(x＞1). 3．函数f(x)＝－(x≥－)的反函数(　　) A．在[－，＋∞)上为增函数 B．在[－，＋∞)上为减函数 C．在(－∞，0]上为增函数 D．在(－∞，0]上为减函数 D　解析：函数f(x)＝－(x≥－)的值域为{y|y≤0}，而原函数在[－，＋∞)上是减函数，所以它的反函数在(－∞，0]上也是减函数． 4．函数y＝ (－1≤x＜0)的反函数是(　　) A．y＝(x≥) B．y＝－(x≥) C．y＝(＜x≤1) D．y＝－(＜x≤1) D　解析：∵－1≤x＜0， ∴－1＜x2－1≤0，＜≤1. 又y＝得x2－1＝log3y，x2＝log3y＋1，而x＜0， 故x＝－， 即反函数为y＝－(＜x≤1). 5．若函数f(x)＝，即f－1()＝________． 1　解析：解法一　由f(x)＝，得f－1(x)＝. ∴f－1()＝＝1. 解法二　由＝，解得x＝1. ∴f－1()＝1. 6．要使y＝x2＋4x(x≥a)有反函数，则a的最小值为________． －2　解析：要使函数有反函数，需满足函数在[a，＋∞)上是单调函数，所以需[－2，＋∞)⊆[a，＋∞)， 所以a≥－2，即a的最小值是－2. 7．若函数f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝________． －2　解析：由y＝得，(y－2)x＝1－ay. 若y＝2，则1－2a＝0，a＝.此时，y＝2，图象不关于直线y＝x对称． 于是，x＝(y≠2)， 从而，f－1(x)＝(x≠2). 由f(x)＝f－1(x)，得＝. 整理得(a＋2)x2＋(a2－4)x－(a＋2)＝0. 于是，a＋2＝0且a2－4＝0，解得a＝－2. 8．求函数y＝的反函数，并作反函数的图象． 解：由y＝2x＋1得x＝(y－1). 又∵0≤x≤1，∴1≤y≤3， 故y＝2x＋1的反函数为y＝(x－1)，(1≤x≤3). 由y＝x2(－1＜x＜0)⇒ 其反函数为y＝－(0＜x＜1). 综上所述知，反函数为y＝ 其图象如图所示： 9．设f(x)是一次函数，且f(1)＝1，f[f(2)]＝2f－1(4)，试求f(x)的解析式． 解：依题意，可设所求函数为f(x)＝kx＋b，其中k、b为待定常数且k≠0，则 f－1(x)＝，f[f(2)]＝f(2k＋b)＝k(2k＋b)＋b. 由f(1)＝1，可得k＋b＝1.　① 由f[f(2)]＝2f－1(4)，可得 k(2k＋b)＋b＝2·.　② 联立①②，得k3－k－6＝0， 故(k－2)(k2＋2k＋3)＝0， 解得k＝2，b＝－1. 所以f(x)＝2x－1. 10．函数f(x)＝ax＋2的反函数f－1(x)＝3x－b，则(　　) A．a＝，b＝6　　　　 B．a＝，b＝－6 C．a＝3，b＝2 D．a＝3，b＝6 A　解析：y＝ax＋2的反函数是y＝， 所以，所以a＝，b＝6. 11．设f(x)＝log2的反函数为f－1(x)，若f－1(a)＝3，则a＝(　　) A．－1 B．1 C．2 D．－2 A　解析：＝2y，x－1＝2－y，x＝2－y＋1，f－1(x)＝2－x＋1.由f－1(a)＝3，得2－a＋1＝3，2－a＝2，所以a＝－1. 12．已知f(x)＝4x－2x＋1，则f－1(0)＝________． 1　解析：令f(x)＝0，得4x－2x＋1＝0，∴2x(2x－2)＝0， ∴2x＝2或2x＝0(舍)，∴x＝1.故f－1(0)＝1. 13．函数f(x)＝－x2(x∈(－∞，－2])的反函数f－1(x)＝________． －(x≤－4)　解析：y＝－x2(x≤－2)，y≤－4. ∴x＝－.x、y互换， ∴f－1(x)＝－(x≤－4). 14．求f(x)＝x|x|＋2x的反函数． 解：f(x)＝ 当x≥0时，x＋1＝， ∴f－1(x)＝－1(x≥0)； 当x＜0时，x－1＝－， ∴f－1(x)＝1－(x＜0).