课后提升练(八) 等比数列的性质及应用（Word练习）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

课后提升练(八)　等比数列的性质及应用 [对应学生用书P85] 1．已知{an}为等比数列，且a1a13＝，则tan (a2a12)的值为(　　) A．－ B． C．± D．－ A　解析：因为{an}为等比数列，所以a2a12＝a1a13＝，所以tan (a2a12)＝tan ＝.故选B. 2．(2022·广东广州月考)生物学指出：生态系统中，在输入一个营养级的能量中，大约10%的能量能够流到下一个营养级．在H1→H2→H3这个生物链中，若能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为(　　) A．105 kJ B．104 kJ C．103 kJ D．102 kJ C　解析：设H1需提供的能量为a，由题意知，H2的能量为10%a，H3的能量为(10%)2a，即(10%)2a ＝10，解得a＝103，所以要能使H3获得10 kJ的能量，则需H1提供的能量为103 kJ，故选C. 3．在等比数列{an}中，如果a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，那么a5＋a6＝(　　) A．80 B．90 C．100 D．120 D　解析：由等比数列的性质可知a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6构成新的等比数列，因为a1＋a2＝30，a3＋a4＝60，所以a5＋a6＝120，故选D. 4．在1与100之间插入n个正数，使这n＋2个数成等比数列，则插入的n个数的积为(　　) A．10n B．n10 C．100n D．n100 A　解析：设这n＋2个数为a1，a2，…，an＋1，an＋2，则(a2·a3·…·an＋1)2＝100n，所以a2·a3·…·an＋1＝10n. 5．“一尺之锤，日取其半，万世不竭”语出《庄子·天下》，意思是一尺长的棍棒，每日截取它的一半，永远截不完(一尺约等于33.33厘米).这形象地说明了事物具有无限可分性．问：当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为(　　) A．6 B．7 C．8 D．9 A　解析：由题意可知第一次剩余的棍棒长度为尺，则第n次剩余的棍棒长为尺，由×33.33<1得，n≥6，所以当剩余的棍棒长度小于1厘米时需要截取的最少次数为6，故选A. 6．在正项等比数列{an}中，a3(a1＋2a6)＋a＝64，则a2＋a7＝__________． 8　解析：由a3(a1＋2a6)＋a＝64，得a1a3＋2a3a6＋a＝64，则a＋2a2a7＋a＝64，即(a2＋a7)2＝64.又an>0，故a2＋a7＝8. 7．已知正项等比数列{an}，满足a2·a·a2 020＝16，则a1·a2·…·a1 017＝________． 21 017　解析：在正项等比数列{an}中，a2·a·a2 020＝16，因为a2·a2 020＝a，所以(a7a1 011)2＝16，即a7a1 011＝a＝4， 所以a509＝2，所以a1·a2·a3·…·a1 017＝a＝21 017. 8．2020年，某县甲、乙两个林场森林木材的存量分别为16a和25a，甲林场木材存量每年比上年递增25%，而乙林场木材存量每年比上年递减20%. (1)求哪一年两林场木材的存量相等？ (2)问两林场木材的总量到2023年能否翻一番？ 解：(1)由题意可得 16a(1＋25%)n－1＝25a(1－20%)n－1，解得n＝2， 故到2021年两林场木材的总存量相等． (2)令n＝5，则16a()4＋25a()4<2(16a＋25a)，故到2023年不能翻一番． 9．等比数列{an}同时满足下列三个条件：①a1＋a6＝11，②a3·a4＝，③三个数a2，a，a4＋依次成等差数列，试求数列{an}的通项公式． 解：由等比数列的性质知a1a6＝a3a4＝， 所以 解得或 当时，q＝2， 所以an＝·2n－1，这时a2＋a4＋＝，2a＝， 所以a2，a，a4＋成等差数列， 故an＝·2n－1. 当时，q＝，an＝·26－n，a2＋a4＋≠2a， 不符合题意，故通项公式an＝·2n－1. 10．设{an}是由正数组成的等比数列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，那么a3·a6·a9·…·a30＝(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 B　解析：设A＝a1a4a7·…·a28，B＝a2a5a8·…·a29，C＝a3a6a9·…·a30，则A，B，C成等比数列，公比为q10＝210，由条件得A·B·C＝230，故B＝210，所以C＝B·210＝220. 11．(多选)(2022·山东济南月考)已知数列{an}中，a1＝1，an·an＋1＝2n，n∈N*，则下列说法正确的是(　　) A．a4＝4 B．{a2n}是等比数列 C