2.5 2.5.1 直线与圆的位置关系-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第一册【金版教程】作业与测评全书word（人教A版）

2.5　直线与圆、圆与圆的位置关系 2．5.1　直线与圆的位置关系 第1课时　直线与圆的位置关系 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　直线与圆位置关系的判断 1．直线3x＋4y－13＝0与圆(x－2)2＋(y－3)2＝1的位置关系是(　　) A．相离 B．相交 C．相切 D．无法判定 答案　C 解析　由圆的方程可得圆心坐标为(2，3)，半径r＝1，所以圆心到直线3x＋4y－13＝0的距离d＝＝1＝r，则直线与圆的位置关系为相切．故选C. 2．直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9的位置关系是(　　) A．相离 B．相切 C．相交 D．不确定 答案　C 解析　将直线ax－y＋2a＝0化为点斜式得y＝a(x＋2)，知该直线过定点(－2，0)．又(－2)2＋02<9，故该定点在圆x2＋y2＝9的内部，所以直线ax－y＋2a＝0与圆x2＋y2＝9必相交．故选C. 3．若直线4x－3y＋a＝0与圆x2＋y2＝100有如下关系：(1)相交；(2)相切；(3)相离．试分别求实数a的取值范围． 解　解法一(代数法)：由方程组消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0， Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a2＋90000. (1)当直线与圆相交时，Δ>0，即－36a2＋90000>0，解得－50<a<50. (2)当直线与圆相切时，Δ＝0，即a＝50或a＝－50. (3)当直线与圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50. 解法二(几何法)：圆x2＋y2＝100的圆心为(0，0)，半径r＝10，则圆心到直线的距离d＝＝. (1)当直线与圆相交时，d<r，即<10，－50<a<50. (2)当直线与圆相切时，d＝r，即＝10，a＝50或a＝－50. (3)当直线与圆相离时，d>r，即>10，a<－50或a>50. [名师点拨]　判断直线与圆的位置关系应注意的问题 (1)利用几何法比利用代数法能更简捷地判断出直线与圆的位置关系． (2)在解决直线与圆的位置关系问题时，应注意联系圆的几何性质，利用有关图形的几何特征，尽可能简化运算． 提醒：利用几何法来判定直线与圆的位置关系时，一定要明确圆心的坐标． 知识点二　直线与圆相交的有关问题 4．(2022·福建泉州一中期末)在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　因为圆心(2，－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝，所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2 ＝.故选D. 5．直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为(　　) A． B．± C． D．± 答案　D 解析　因为直线y＝kx＋3被圆(x－2)2＋(y－3)2＝4截得的弦长为2，所以圆心C(2，3)到直线的距离为d＝＝1，所以＝＝1，解得k＝±.故选D. 6．直线l与圆x2＋y2＋2x－4y＋a＝0(a<3)相交于A，B两点，若弦AB的中点为C(－2，3)，则直线l的方程为________． 答案　x－y＋5＝0 解析　由圆的一般方程可得圆心M(－1，2)．由圆的性质易知M，C两点的连线与弦AB垂直，故有kABkMC＝－1⇒kAB＝1，故直线l的方程为y－3＝x＋2，整理得x－y＋5＝0. 知识点三　切线问题 7．[多选]与圆C：x2＋y2－4x＋2＝0相切，且在x，y轴上的截距相等的直线方程可能为(　　) A．y＝x B．y＝－x C．x＋y－4＝0 D．x－y＋4＝0 答案　ABC 解析　圆C的方程可化为(x－2)2＋y2＝2.可分为两种情况讨论：①直线在x，y轴上的截距均为0，易知直线斜率必存在，设直线方程为y＝kx，则＝，解得k＝±1，A，B正确；②直线在x，y轴上的截距均不为0，则可设直线方程为＋＝1(a≠0)，即x＋y－a＝0(a≠0)，则＝，解得a＝4(a＝0舍去)，C正确，D错误．故选ABC. 8．(2022·河北保定二中高二期中)点P是直线2x＋y＋10＝0上的动点，PA，PB与圆x2＋y2＝4分别相切于A，B两点，则四边形PAOB面积的最小值为________． 答案　8 解析　如图所示，因为S四边形PAOB＝2S△POA，又OA⊥AP，所以S四边形PAOB＝2×|OA|·|PA|＝2＝2.为使四边形PAOB的面积最小，当且仅当|OP|达到最小，即为点O到直线2x＋y＋10＝0的距离|OP|min＝＝2.故所求最小值为2＝8. 9．已知圆x