§5 　数学归纳法（教师用书）-2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册【金版新学案】同步导学（北师大版）

*§5　数学归纳法 [课标解读]　1．了解数学归纳法的原理．2．能用数学归纳法证明数列中的一些简单命题． 知识点　数学归纳法 　数学归纳法是用来证明某些与正整数n有关的数学命题的一种方法．它的基本步骤是： (1)证明：当n取第一个值n0(n0是一个确定的正整数，如n0＝1或2等)时，命题成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立，证明当n＝k＋1时，命题也成立． 根据(1)(2)可以断定命题对一切从n0开始的正整数n都成立． [点拨]　(1)一般地，与正整数有关的恒等式、不等式、数列的通项及前n项和等问题都可以用数学归纳法证明．但并不是所有与正整数有关的问题都能用数学归纳法解决． (2)第一个值n0是命题成立的第一个正整数，并不是所有的第一个值n0都是1． (3)步骤(2)是用数学归纳法证明命题的关键．归纳假设“当n∈k(k∈N＋，k≥n0)时命题成立”起着已知的作用，证明“当n＝k＋1时命题也成立”的过程中，必须用到归纳假设，再根据有关的定理、定义、公式、性质等推证出当n＝k＋1时命题也成立．而不能直接将n＝k＋1代入归纳假设，此时n＝k＋1时命题成立也是假设，命题并没有得证． 应用一　用数学归纳法证明等式 用数学归纳法证明：1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，n∈N＋． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1－＝，右边＝，等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即 1－＋－＋…＋－ ＝＋＋…＋， 那么当n＝k＋1时， 左边＝1－＋－＋…＋－＋－ ＝＋－ ＝＋＋…＋＋＋ ＝＋＋…＋＋＝右边． 所以当n＝k＋1时等式也成立．综合(1)(2)知对一切n∈N＋，等式都成立． 学生用书第28页 利用数学归纳法证明问题的三个关键点 (1)验证是基础 找准起点，奠基要稳，有些问题中验证的初始值不一定是1． (2)递推是关键 数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项、增加怎样的项． (3)利用假设是核心 在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”也成立，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心，不用归纳假设的证明就不是数学归纳法．　　 即时练1．用数学归纳法证明13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2． 证明：　(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝1＝左边，等式成立； (2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即13＋23＋…＋k3＝(1＋2＋…＋k)2，那么当n＝k＋1时， 右边＝[1＋2＋…＋k＋(k＋1)]2＝(1＋2＋…＋k)2＋2(1＋2＋…＋k)(k＋1)＋(k＋1)2＝13＋23＋…＋k3＋k(k＋1)2＋(k＋1)2＝13＋23＋…＋k3＋(k＋1)3＝左边，等式成立， 综上，对一切正整数n，均有13＋23＋33＋…＋n3＝(1＋2＋3＋…＋n)2成立． 应用二　用数学归纳法证明不等式 求证：＋＋…＋>(n≥2，n∈N＋)． 证明：　(1)当n＝2时，左边＝＋＋＋＝，故左边>右边，不等式成立． (2)假设当n＝k(k≥2，k∈N＋)时命题成立，即＋＋…＋>， 则当n＝k＋1时， ＋＋…＋＋＋＋＝＋＋…＋ ＋> ＋，* 方法一：(分析法)下面证＋＋－≥0， 只需证(3k＋2)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋3)＋(3k＋1)(3k＋2)－3(3k＋1)(3k＋2)≥0， 只需证(9k2＋15k＋6)＋(9k2＋12k＋3)＋(9k2＋9k＋2)－(27k2＋27k＋6)≥0， 只需证9k＋5≥0，显然成立． 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 方法二：(放缩法)*式>＋＝， 所以当n＝k＋1时，不等式也成立． 由(1)(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N＋均成立． 用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点 　　 即时练2．用数学归纳法证明(1＋a)n>1＋na(常数a>0，n>1，n∈N＋)． 证明：　由已知得，a＞0，n>1， 当n＝2时，(1＋a)2＝1＋2a＋a2>1＋2a，不等式成立； 假设当n＝k，k≥2，k∈N＋时，有(1＋a)k>1＋ka， 当n＝k＋1时，(1＋a)k＋1＝(1＋a)k(1＋a)>(1＋ka)(1＋a)＝1＋a(k＋1)＋ka2>1＋(k＋1)a． 即当n＝k＋1时，不等式也成立． 综上可得，(1＋a)n>1＋na成立． 应用三　用数学归纳法证明整除问题 用数学归纳法证明：(3n＋1)·7n－1(n∈N＋)能被9整除． 证明：　(1)当n＝1时，原式＝4×7－1＝27能被9整除． (2)假设当