2.2 从函数观点看一元二次方程（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．2　从函数观点看一元二次方程 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.理解二次函数的零点与一元二次方程的根之间的关系． 2.会解决一元二次方程根的分布问题． 重点 难点 重点：二次函数与二次方程的关系． 难点： 一元二次方程根的分布. 1．二次函数的零点 一般地，我们把使得ax2＋bx＋c＝0(a≠0)成立的实数x叫做二次函数y＝ax2＋bx＋c的 ． 2．当a>0时，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根、二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点之间的关系如下： 零点 续表 (1)函数的零点是实数，而不是点． (2)并不是所有的二次函数都有零点，如函数y＝x2＋1就没有零点． (3)若二次函数有零点，则零点一定在函数的定义域内．零点是相应一元二次方程的实数根，也是二次函数图象与x轴交点的横坐标． [即时小练] 1．若二次函数y＝x2＋ax＋b的两个零点分别是2和3，则a＋b等于 (　　) A．11　　　　　　　　 B．－11 C．1 D．－1 答案：C 2．函数y＝x2－4x＋m没有零点，则m的取值范围为 (　　) A．(－∞，2) B．(4，＋∞) C．(16，＋∞) D．(－∞，8) 答案：B 3．函数y＝x2－3x＋2的零点是________． 答案：1,2 [题点一] 求二次函数的零点 [典例]　求下列函数的零点． (1)y＝3x2－2x－1； (2)y＝ax2－x－a－1(a∈R)； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． [方法技巧] 求含有参数的函数y＝ax2＋bx＋c的零点分类讨论的步骤 (1)若二次项系数中含有参数，则讨论二次项系数是否为零． (2)若二次项系数不为零，则讨论对应方程根的判别式的符号，即判定方程是否有实数根．若可以因式分解，则一定存在零点． (3)若二次项系数不为零，且相应方程有实数根，则讨论相应方程的实数根是否相等．　　 [对点训练] 求下列函数的零点． (1)y＝2x2－3x－2； (2)y＝ax2－x－1； (3)y＝ax2＋bx＋c，其图象如图所示． 　[题点二] 一元二次方程根的分布 [典例]　已知一元二次方程x2＋mx＋1＝0的两根都在 (0,2)内，求实数m的取值范围． [方法技巧] 解决一元二次方程根分布问题的注意点 (1)可转化为函数问题，要画出符合题意的草图． (2)结合二次函数草图考虑四个方面：①Δ的大小；②对称轴与所给端点值的关系；③开口方向；④端点的函数值与零的关系． (3)列出不等式(组)，要验证图象是否符合． (4)若涉及根的正负问题，可利用根与系数的关系及根的判别式列式求解．　　 2．若函数y＝x2＋(1－m)x＋m－2的一个零点大于0，另一个零点小于0，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意知方程x2＋(1－m)x＋m－2＝0有两个异号的实数根．∴Δ＝(1－m)2－4(m－2)>0，x1·x2＝m－2<0，即m<2. 答案：(－∞，2) [方法技巧]　求二次函数解析式的方法 [对点训练] 已知二次函数y＝ax2＋bx＋c过点(2，－1)，(－1，－1)且有最大值8，求此二次函数的解析式． 发展理性思维 1．已知y＝x2＋(2a－1)x＋a－2的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围． 2．求实数m的范围，使关于x的方程x2＋2x＋m＋1＝0满足： (1)有两个负根； (2)有两个实根，且都比1大． “四翼检测评价”见“四翼检测评价（十三）” (单击进入电子文档) 25 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象 x＝－ 方程ax2＋bx＋c＝0的根 有两个相异的实数根 x1,2＝ 有两个相等的 实数根x1＝x2＝ _______ 没有 实数根 二次函数y＝ax2＋bx＋c的零点 有两个零点 __________________ 有一个零点 ___________ 无零点 － x1,2＝ [解]　(1)由3x2－2x－1＝0解得x1＝1，x2＝－，所以函数y＝3x2－2x－1的零点为1和－. (2)①当a＝0时，y＝－x－1，由－x－1＝0得x＝－1，所以函数的零点为－1. ②当a≠0时，由ax2－x－a－1＝0得(ax－a－1)·(x＋1)＝0，解得x1＝，x2＝－1. 又－(－1)＝， 当a＝－时，x1＝x2＝－1，函数有唯一的零点－1. 当a≠－且a≠0时，x1≠x2，函数有两个零点－1和. 综上，当a＝0或时，函数的零点为－1. 当a≠－且a≠0时，函数有两个零点－1和. (3)因为函数的图象与x轴的交点的横坐标为－1和3，所以该函数的零点为－1和3. 解：(1