2.1.3 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2.1.3　基本不等式的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 重点 难点 重点：利用基本不等式求最值． 难点：基本不等式的灵活应用. 基本不等式与最值 已知x，y都为正数，则 2．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是________． [方法技巧] 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个：一是消元的思想，转化为只有一个变量的代数式，再通过变形转化为基本不等式的形式求解；二是直接利用条件式或进行恰当地转化，然后利用基本不等式求最值，在此过程中需注意： (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． (2)当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值． (3)特别注意“1”的代换．　　 [题点二] 基本不等式的实际应用 [典例]　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD(如图所示)，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米． [方法技巧] 利用基本不等式解决实际问题的步骤 解实际问题时，首先审清题意，然后将实际问题转化为数学问题，再利用数学知识(函数及不等式性质等)解决问题．用基本不等式解决此类问题时，应按如下步骤进行： (1)先理解题意，设变量．设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数． (2)建立相应的函数关系式．把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题． (3)在定义域内，求出函数的最大值或最小值． (4)正确写出答案．　　 [对点训练] 某工厂每年需要某种材料3 000件，设该厂对该种材料的消耗是均匀的，该厂准备分若干次等量进货，每进一次货需运费30元，且在用完时能立即进货，已知储存在仓库中的材料每件每年储存费为2元．而平均储存的材料量为每次进货量的一半，欲使一年的总运费和储存材料所用的费用之和最少，则每次进货量应为多少？ 解析：设每次进货量为x件，则平均储存材料量为x,2件，一年的储存费用是2×x,2＝x(元)，全年的订购次数是3 000,x，运费是30×3 000,x＝90 000,x(元)． ∴一年的总运费和储存材料的费用之和为W＝x＋90 000,x(0＜x＜3 000，x∈N)． ∵x＞0，∴W＝x＋90 000,x≥2x·90 000,x＝600， 当且仅当x＝300时，等号成立． 故每次进货300件(分10次进货)可使一年的总运费和储存材料所用的费用之和最少． [方法技巧] 不等式恒成立问题的实质是已知不等式的解集求不等式中参数的取值范围．对于求不等式成立时参数的范围问题，在满足条件的情况下可以把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的式子，另一端是一个具体的函数，这样就把问题转化为只有一端是参数的不等式的形式，便于问题的解决．　　 常见求解策略是将不等式恒成立问题转化为求最值问题，即y≥m恒成立⇔ymin≥m；y≤m恒成立⇔ymax≤m.但要注意函数中自变量的取值范围.如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法. 内化素养 数学运算 注意检验利用基本不等式的前提条件及多次使用等号时成立的条件 逻辑推理 使用基本不等式求最值要对相关不等式利用拼、凑等方法进行变形，使之和或积为定值 注重实践应用 3．某人要用铁管做一个形状为直角三角形且面积为1 m2的铁架框(铁管的粗细忽略不计)，在下面四种长度的铁管中，最合理(够用，又浪费最少)的是 (　　) A．4.6 m B．4.8 m C．5 m D．5.2 m 4.如图，在半径为4(单位：cm)的半圆形(O为圆心)铁皮上 截取一块矩形材料ABCD，其顶点A，B在直径上，顶 点C，D在圆周上，则矩形ABCD面积的最大值为________(单位：cm2)． 强化拓广探索 5． “四翼检测评价”见“四翼检测评价（十二）” (单击进入电子文档) 33 积定和最小 如果和xy是定值P，那么当且仅当x＝y时，和x＋y有最小值 和定积最大 如果和x＋y是定值S，那么当且仅当x＝y时，积xy有最大值 2 对 “一正、二定、三相等”的理解 (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．例如，函数y＝x＋，当x<0时，绝不能认为x＋≥2，并由此得出错误结论：x＋的最小值为2.事实上，当x<0时，x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，取得最大值－2. (2)“二定”