2.1.2 基本不等式（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（湘教版2019）

2．1.2　基本不等式 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.了解基本不等式的证明过程． 2.能利用基本不等式证明简单的不等式及比较代数式的大小． 重点 难点 重点： 基本不等式的证明及简单应用． 难点： 对基本不等式的理解. a2＋b2≥2ab a＝b a＝b 不小于 [方法技巧] 利用基本不等式证明不等式的两种题型 (1)无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件． (2)有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．　　 [对点训练] 1．已知x，y都是正数，求证：(x＋y)(x2＋y2)·(x3＋y3)≥8x3y3.　 [方法技巧] 在用基本不等式求函数的最大(小)值时，需要注意三个条件： 一正、二定、三相等．所谓“正”是指各项或各因式为正值．所谓“定”是指和或积为定值．所谓“相等”是指各项或各因式能相等，即等号能取到．　　 2．(2019·浙江高考)设a>0，b>0，则“a＋b≤4”是“ab≤4”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 内化素养 逻辑推理 应用基本不等式进行推理时要注意基本不等式的应用条件 数学运算 利用基本不等式比较大小时应注意等号成立的条件 二、在导向训练中品悟核心价值 发展理性思维 1．如果正数a，b，c，d满足a＋b＝cd＝4，那么 (　　) A．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 B．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值唯一 C．ab≤c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 D．ab≥c＋d，且等号成立时，a，b，c，d的取值不唯一 4．某金店用一台不准确的天平(两边臂长不相等)称黄金，某顾客要购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客，然后又将5 g的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后又给顾客，则顾客实际所得黄金 (　　) A．大于10 g B．小于10 g C．大于等于10 g D．小于等于10 g 体察数学文化 5. 如图称为弦图，是我国古代三国时期赵爽为《周髀算经》 作注时为证明勾股定理所绘制，利用该图作 为“(　　)”的 几何解释 (　　) A．如果a>b，b>c，那么a>c B．如果a>b>0，那么a2>b2 C．对任意实数a和b，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时等号成立 D．如果a>b，c>0，那么ac>bc “四翼检测评价”见“四翼检测评价（十一）” (单击进入电子文档) 33 基本不等式 (1)定理：对任意a，b∈R，必有 ，当且仅当 时等号成立． (2)推论：对任意a，b≥0，必有 ，当且仅当 时等号成立． 一般地，对于正数a，b，我们把称为a，b的算术平均数， 称为a，b的几何平均数，即两个正数的算术平均数 它们的几何平均数． 上述定理和推论中的不等式通常称为基本不等式． ≥ (1)基本不等式≥中，要求a，b都是非负实数，否则，若a<0，b<0，如a＝－2，b＝－4，则会出现≥的错误结论．若a，b中有一个小于0，如a＝2，b＝－4，则无意义． (2)均值不等式可变形为ab≤2，多个正数的算术平均值和几何平均值可以类似地定义，例如a，b，c的算术平均值为，几何平均值为. [即时小练] 1．判断正误 (1)若a>0，b>0且a≠b，则a＋b>2. (　　) (2)6和8的几何平均数为2. (　　) (3)对任意a，b∈R，a2＋b2≥2ab，a＋b≥2均成立． (　　) (4)若a≠0，则a＋≥2 ＝2. (　　) 答案：(1)√　(2)×　 (3)×　(4)× 答案：A 2．不等式(x－2y)＋≥2成立的前提条件为 (　　) A．x≥2y　　B．x>2y　　C．x≤2y　　D．x<2y 答案：B 3．已知a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是 (　　) A．a2＋b2≥2|ab| B．a2＋b2＝2|ab| C．a2＋b2≤2|ab| D．a2＋b2>2|ab| [题点一] 对基本不等式的理解 [典例]　“0<a<b”是“<”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 [解析]　若0<a<b，由基本不等式可以得出<(因为a≠b，所以取不到等号)；反之若<，可得a>0，b>0且()