专题3.3 抛物线（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.3 抛物线 【考点1：抛物线的定义】 1 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 4 【考点3：抛物线的焦点弦】 10 【考点4：抛物线的实际应用】 18 【考点1：抛物线的定义】 【知识点：抛物线的定义】 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线．点F叫做抛物线的焦点，直线l叫做抛物线的准线． [方法技巧] 利用抛物线的定义解决问题时，应灵活地进行抛物线上的点到焦点距离与其到准线距离间的等价转化．“看到准线应该想到焦点，看到焦点应该想到准线”，这是解决抛物线距离有关问题的有效途径．　　 1．（2022·山东·汶上县第一中学高三开学考试）已知抛物线（）的焦点为F.若直线与C交于A，B两点，且，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】将代入，求出点、的坐标，利用弦长求出，进而求得结果. 【详解】将代入，解得， 则、， 所以，解得， 则. 故选：C. 2．（2022·河南安阳·高二阶段练习）已知抛物线的焦点为F，准线为l，点在C上，过P作l的垂线，垂足为Q，若，则F到l的距离为（    ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据抛物线的定义，结合条件表示出的长度，然后列出方程即可得到结果. 【详解】 如图，不妨令在轴上方，准线l与轴交点为， 因为点在C上，根据抛物线定义可得， 且，则，所以为等腰三角形，且， 在中，，即 解得，即F到l的距离为. 故选:C. 3．（2022·江西·高三阶段练习（文））若抛物线上一点P到焦点的距离为6，则点P到x轴的距离为____________． 【答案】4 【分析】根据抛物线的方程求出准线，再由抛物线定义求解即可. 【详解】抛物线方程化为标准形式为， 由抛物线的定义可知，点P到准线的距离为6， 所以点P到x轴的距离为4． 故答案为：4 4．（2022·全国·成都七中高三开学考试（理））设​是抛物线​的焦点，点A​在抛物线​上，​，若​，则​____________. 【答案】 【分析】根据题意可得焦点F的坐标，进而可得，由，可得结合抛物线的定义可得A点的横坐标，再代入抛物线的方程，即可得出答案. 【详解】由可知焦点，，∴​， ∵，∴ ∴​点​到抛物线准线的距离为​. ∵​抛物线的准线方程为​， ∴点A的横坐标 ∴​或​， ∴​. 故答案为：. 5．（2022·安徽省皖西中学高二期末）已知抛物线上一点M（位于第一象限）到焦点F的距离等于，则直线的斜率为_______________． 【答案】 【分析】利用抛物线的定义可M点的横坐标，代入抛物线方程求出M的坐标，再利用斜率公式求解即可. 【详解】因为抛物线上一点M与焦点F的距离， 所以， 所以，进而有或（舍去） 所以点M的坐标为， 所以直线MF的斜率为. 故答案为：. 6．（2023·全国·高三专题练习）是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为，则的最小值为________． 【答案】 【分析】求出圆心坐标和抛物线的焦点坐标，把的最小值转化为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离即可得答案. 【详解】圆的圆心为，半径， 抛物线的焦点， 因为是抛物线上的动点，到轴的距离为，到圆上动点的距离为， 所以要使最小，即到抛物线的焦点与到圆的圆心的距离最小， 连接，则的最小值为减去圆的半径，再减去抛物线焦点到原点的距离， 即， 所以的最小值为， 故答案为： 【考点2：抛物线的标准方程与性质】 【知识点：抛物线的标准方程与性质】 图形 标准 方程 y2＝2px (p＞0) y2＝－2px (p＞0) x2＝2py (p＞0) x2＝－2py (p＞0) p的几何意义：焦点F到准线l的距离 范围 x≥0，y∈R x≤0，y∈R y≥0，x∈R y≤0，x∈R 焦点 坐标 准线 方程 x＝－ x＝ y＝－ y＝ 离心率 e＝1 焦半径 |PF|＝x0＋ |PF|＝－x0＋ |PF|＝y0＋ |PF|＝－y0＋ [方法技巧] 求抛物线的标准方程的方法 (1)定义法 根据抛物线的定义，确定p的值(系数p是指焦点到准线的距离)，再结合焦点位置，求出抛物线方程．标准方程有四种形式，要注意选择． (2)待定系数法 ①根据抛物线焦点是在x轴上还是在y轴上，设出相应形式的标准方程，然后根据条件确定关于p的方程，解出p，从而写出抛物线的标准方程． ②当焦点位置不确定时，有两种方法解决： 法一 分情况讨论，注意要对四种形式的标准方程进行讨论，对于焦点在x轴上的抛物线，为避免开口方向不确定可分为y2＝2px(p>0)和y2＝－2px(p>0)两种情况求解 法二 设成y2＝mx(m≠0)