1.3.3 第1课时 等比数列的前n项和及其性质（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

1.3.3　等比数列的前n项和 第 1 课时　等比数列的前n项和及其性质 1．等比数列的前n项和公式 2．等比数列前n项和的性质 性质1 若Sn表示数列{an}的前n项和，且Sn＝A－Aqn(Aq≠0，q≠1)，则数列{an}是等比数列 性质2 若数列{an}为公比不为－1或公比为－1且n为奇数的等比数列，Sn为其前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍构成等比数列 性质3 若{an}是公比为q的等比数列，则Sn＋m＝Sn＋qnSm(n，m∈N＋) 续表 2．已知等比数列{an}的首项a1＝3，公比q＝2，则S5等于 (　 ) A．93 B．－93 C．45 D．－45 3．在等比数列{an}中，公比q＝－2，S5＝44，则a1的值为 (　 ) A．4 B．－4 C．2 D．－2 等比数列前n项和运算的注意点 (1)在等比数列的通项公式和前n项和公式中，共涉及五个量：a1，an，n，q，Sn，其中首项a1和公比q为基本量，且“知三求二”，常常列方程组来解答． 在解决与前n项和有关的问题时，首先要对公比q＝1或q≠1进行判断，若两种情况都有可能，则要分类讨论． 当q＝1时，等比数列是常数列，所以Sn＝na1； 当q≠1时，等比数列的前n项和Sn有两个公式． 2．设数列{an}是等比数列，其前n项和为Sn，且S3＝3a3，则公比q的值为________． 解决有关等比数列前n项和的问题时，若能恰当地使用等比数列前n项和的相关性质，则可以避繁就简．不仅可以减少解题步骤，而且可以使运算简便，同时还可以避免对公比q的讨论．　　 [对点训练] 1．等比数列{an}的前n项和为Sn，S2＝7，S6＝91，则S4为 (　 ) A．28 B．32 C．21 D．28或－21 解析：∵{an}为等比数列，∴S2，S4－S2，S6－S4也为等比数列， 即7，S4－7,91－S4成等比数列，∴(S4－7)2＝7(91－S4)，解得S4＝28或S4＝－21. ∴S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝a1＋a2＋a1q2＋a2q2＝(a1＋a2)(1＋q2)＝S2(1＋q2)>S2，∴S4＝28. 答案：A　 2．已知等比数列{an}中，前10项和S10＝10，前20项和S20＝30，求S30. 3．一个项数为偶数的等比数列，全部项之和为偶数项之和的4倍，前3项之积为64，求该等比数列的通项公式． 下列数据供计算时参考： 1.19≈2.36 1.004 99≈1.04 1.110≈2.60 1.004 910≈1.05 1.111≈2.85 1.004 911≈1.06 [解]　(1)设今年有学生b人，则10年后学生人数为b(1＋4.9‰)10≈1.05b. 由题设可知，1年后的设备数量为a×(1＋10%)－x＝1.1a－x. 2年后的设备数量为(1.1a－x)×(1＋10%)－x＝1.12a－1.1x－x＝1.12a－x(1＋1.1)． 解数列应用题的思路和方法 [对点训练] 某电扇厂去年实现利润300万元，计划在以后5年中每年比上一年利润增长10%.问从今年起第5年的利润是多少？这5年的总利润是多少？(结果精确到1万元) 一、在典题训练中内化学科素养 等比数列求和是对数列研究的深入，数列求和的很多问题都与等比数列有关．对于等比数列求和问题，熟练掌握基本量之间的关系是关键，同时进一步强化与等差数列的综合．考查数学运算、逻辑推理的核心素养． 1．(2021·全国甲卷)等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn.设甲：q＞0，乙：{Sn}是递增数列，则 (　 ) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 解析：因为{an}是等比数列，若a1＜0，q＞0，则an＜0，所以{Sn}单调递减，所以甲不是乙的充分条件．反之，若{Sn}为递增数列，则an＞0对任意n≥2都成立，若a1＜0，要使an＝a1qn－1＞0恒成立，即qn－1＜0恒成立，这样的q不存在，所以a1＞0且q＞0，所以乙是甲的充分条件，所以甲是乙的必要不充分条件．故选B. 答案：B　 2．(2021·全国甲卷)记Sn为等比数列{an}的前n项和．若S2＝4，S4＝6，则S6＝ (　 ) A．7 B．8 C．9 D．10 3．(2017·全国卷Ⅱ)我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 (　 ) A．1盏 B．3盏 C．5盏 D．9盏 注重实践应用 3．有一种细菌和一种病毒，每个细菌在