1.3.3 第 课时 数列求和（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学选择性必修第一册（湘教版2019）

第 2 课时　数列求和 分组转化法求和的常见类型 [提醒]　某些数列的求和是将数列转化为若干个可求和的新数列的和或差，从而求得原数列的和，注意在含有字母的数列中对字母的讨论．　　 裂项相消法的基本思想是设法将数列的每一项拆成两项或若干项，并使它们在相加时除了首尾各有一项或少数几项外，其余各项都能前后正负相消，进而求出数列的前n项和．使用此方法时必须弄清消去了哪些项，保留了哪些项，一般未被消去的项有前后对称的特点．　　 [解]　(1)设{an}的公比为q， 由题设得2a1＝a2＋a3， 即2a1＝a1q＋a1q2，所以q2＋q－2＝0， 解得q＝－2或q＝1(舍去)． 故{an}的公比为－2. [方法技巧]　错位相减法求和的基本步骤 [对点训练] 已知数列{an}中，a1＝2，a2＝3，其前n项和Sn满足Sn＋1＋Sn－1＝2Sn＋1(n≥2，n∈N＋)． (1)求证：数列{an}为等差数列，并求{an}的通项公式； (2)设bn＝3n·an，求数列{bn}的前n项和Tn. 体察数学文化 3．(多选)提丢斯-波得定律是关于太阳系中行星轨道的一个简单的几何学规则．它是在1766年德国的一位中学教师戴维·提丢斯提出的，后来被柏林天文台的台长波得归纳成了一个经验公式来表示，即数列{an}：0.4，0.7，1.0，1.6,2.8,5.2,10,19.6，…，表示的是太阳系第n颗行星与太阳的平均距离(以天文单位A.U.为单位)．现将数列{an}的各项乘以10后再减4，得到数列{bn}，可以发现数列{bn} 从第3项起，每一项是前一项的2倍，则下列说法正确的是 (　 ) A．数列{bn}的通项公式为bn＝3×2n－2 B．数列{an}的第2 021项为0.3×22 020＋0.4 C．数列{an}的前n项和Sn＝0.4n＋0.3×2n－1－0.3 D．数列{nbn}的前n项和Tn＝3(n－1)×2n－1 ““四翼”检测评价”见““四翼”检测评价(十)” (单击进入电子文档) 29 ——————————eq \a\vs4\al([题点一])———————————————————— 分组转化法求和 —————————————————————————————————— (1)公式法是数列求和常用的方法，等差数列{an}的前n项和公式为Sn＝eq \f(na1＋an,2)＝na1＋eq \f(nn－1,2)d，等比数列{an}的前n项和公式为Sn＝eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(na1，q＝1，,\f(a1－anq,1－q)＝\f(a11－qn,1－q)，q≠1.)) (2)若一个数列的通项公式是由若干个等差或等比或可求和的数列组成的，则求和时可用分组求和法，分别求和后再相加． [典例]　已知数列{cn}：1eq \f(1,2)，2eq \f(1,4)，3eq \f(1,8)，…，试求{cn}的前n项和. [解]　令{cn}的前n项和为Sn， 则Sn＝1eq \f(1,2)＋2eq \f(1,4)＋3eq \f(1,8)＋…＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(n＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)) ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋\f(1,4)＋\f(1,8)＋…＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)) ＝eq \f(nn＋1,2)＋eq \f(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n)),1－\f(1,2)) ＝eq \f(nn＋1,2)＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n. 即数列{cn}的前n项和为Sn＝eq \f(n2＋n,2)＋1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))n. eq \a\vs4\al([方法技巧]) [对点训练] 已知数列{an}的前n项和Sn＝eq \f(n2＋n,2)，n∈N＋. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝2an＋(－1)nan，求数列{bn}的前2n项和． 解：(1)当n＝1时，a1＝S1＝1； 当n≥2时， an＝Sn－Sn－1＝eq \f(n2＋n,2)－eq \f(n－12＋n－1,2)＝n. a1＝1也满足an＝n， 故数列{an}的通项公式为an＝n. (2)由(1)知an＝n，故bn＝2n＋(－1)nn. 记数列{bn}的前2n项和为T2n， 则T2n＝