4.4 数学归纳法（精练）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.4 数学归纳法 【题组1 对数学归纳法的理解】 1、用数学归纳法证明时，第一步需要验证的不等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，即证明，故选：D 2、用数学归纳法证明时，在第一步归纳奠基时，要验证的等式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】将代入等式，观察左边最后一项为 ， 则第一步归纳奠基时，要验证的等式即为 ，故选：D 3、（多选）用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】CD 【解析】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为，所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立，故选：CD 4、用数学归纳法证明“”时，当时，应证明的等式为______． 【答案】 【解析】依题意，当时，应证明的等式为： . 故答案为： 5、用数学归纳法证明时，在验证了时命题正确后，假定时命题正确，这里k的取值范围是______． 【答案】， 【解析】数学归纳法是证明与正整数有关的数学命题，故； 又验证了时命题正确，故； 综上：，. 故答案为：，. 【题组2 数学归纳法中的增项问题】 1、用数学归纳法证明（，n为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边为（ ）． A．． B．． C．． D．． 【答案】C 【解析】由， 则， 因此，故选：C 2、用数学归纳法证明：，，当时，左端应在的基础上加上（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，等式左端为， 当时，等式左端为， 两式比较可知，增加的项为．故选：C． 3、用数学归纳法证明时，由到，左边需要添加的项数为（ ） A．1 B．k C． D． 【答案】D 【解析】当时，等式左端为， 当时，等式左端为， 所以共增加了项.故选：D. 4、用数学归纳法证明等式，其中，，从到时，等式左边需要增乘的代数式为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时,左边等于; 当时,左边等于， 即左边等于； 所以左边增乘的项为；故选：D. 5、已知经过同一点的个平面，任意三个平面不经过同一条直线，若这n个平面将空间分成个部分．现用数学归纳法证明这一命题，证明过程中由到时，应证明增加的空间个数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】当时，这三个平面将空间分成了8部分， 若时，平面将空间分成个部分，则再添加1个面时， 与其他个面共有条交线，此条交线过同一个点，将该平面分成个部分， 每一部分将所在的空间一分为二，故．故选：A 【题组3 用数学归纳法证明恒等式】 1、用数学归纳法证明. 【答案】证明见解析． 【解析】证明：（1）时，左边，右边左边，等式成立； （2）假设时等式成立，即， 时，右边= =左边，等式成立， 综上，对一切正整数，． 2、用数学归纳法证明：（n为正整数）． 【答案】证明见解析 【解析】证明：①当时，左边，右边，等式成立． ②假设当时，等式成立， 即， 那么当时， ． 故当时，等式也成立． 综上可知等式对任意正整数n都成立． 3、求证：． 【答案】证明见解析. 【解析】（1）当时，左边，右边，左边＝右边，等式成立； （2）假设时等式成立， 即成立， 则当时，可得 ＝＋ ＝＋＋…＋＋. 即当时，等式也成立． 综合（1）（2）可知，对一切，等式成立． 4、考查下列各式 2＝2×1 3×4＝4×1×3 4×5×6＝8×1×3×5 5×6×7×8＝16×1×3×5×7 你能做出什么一般性的猜想？能证明你的猜想吗？ 【答案】猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)，证明见解析 【解析】由题意得，2＝2×1，3×4＝4×1×3，4×5×6＝8×1×3×5，5×6×7×8＝16×1×3×5×7，… 猜想：(n＋1)(n＋2)(n＋3)…2n＝2n·1·3·5·…·(2n－1)， 下面利用数学归纳法进行证明： 证明：（1）当n＝1时，显然成立； （2）假设当n＝k时等式成立，即(k＋1)(k＋2)(k＋3)…2k＝2k·1·3·5·…·(2k－1)， 那么当n＝k＋1时， (k＋1＋1)(k＋1＋2)(k＋1＋3