4.4 数学归纳法（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.4 数学归纳法 一、数学归纳法的定义和关键点 1、定义 一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数的所有正整数都成立时，可以用以下两个步骤： （1）（归纳奠基）证明当时命题成立； （2）（归纳递推）假设当(，≥)时命题成立，证明当命题也成立. 在完成这两个步骤后，就可以断定命题对于不小于的所有正整数都成立，这种证明方法称为数学归纳法。 2、三个关键点 （1）验证是基础：数学归纳法的原理表明：第一个步骤是要找一个数n0，这个n0，就是我们要证明的命题对象对应的最小自然数，这个自然数并不一定都是“1”，因此“找准起点，奠基要稳”是第一个关键点． （2）递推是关键：数学归纳法的实质在于递推，所以从“k”到“k＋1”的过程中，要正确分析式子项数的变化．关键是弄清等式两边的构成规律，弄清由n＝k到n＝k＋1时，等式的两边会增加多少项，增加怎样的项． （3）利用假设是核心：在第二步证明n＝k＋1成立时，一定要利用归纳假设，即必须把归纳假设“n＝k时命题成立”作为条件来导出“n＝k＋1”，在书写f(k＋1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，这是数学归纳法的核心．不用归纳假设的证明就不是数学归纳法． 二、归纳——猜想——证明”的一般环节： 1、计算：根据条件，准确计算出前若干项，这是归纳、猜想的前题； 2、归纳、猜想：通过观察、分析、比较、综合、联想，猜想出一般的结论； 3、证明：对一般结论利用数学归纳法进行证明. 三、用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 1、明确初始值并验证真假（必不可少）； 2、“假设时命题正确”并写出命题形式； 3、分析“时”命题是什么，并找出与“”时命题形式的差别，弄清左端应增加的项； 4、明确等式左端变形目标，掌握恒等变形常用的方法：乘法公式、因式分解、添拆项、配方等，并用上假设。 题型一 对数学归纳法的理解 【例1】欲用数学归纳法证明“对于足够大的正整数n，总有”，则验证不等式成立所取的第一个，最小应当是（ ）． A．1 B．大于1且小于6的某个正整数 C．10 D．大于5且小于10的某个正整数 【答案】C 【解析】根据数学归纳法的步骤，首先要验证当取第一个值时命题成立； 结合本题，要验证时，左，右，成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，不成立， 时，左，右，成立， 当时，恒成立，所以．故选：C 【变式1-1】如果命题对成立，那么它对也成立.设对成立，则下列结论正确的是（ ） A．对所有的正整数成立； B．对所有的正奇数成立； C．对所有的正偶数成立； D．对所有大于1的正整数成立. 【答案】C 【解析】由于若命题对成立，则它对也成立． 又已知命题成立，可推出 均成立， 即对所有正偶数都成立，故选：C． 【变式1-2】与正整数有关的数学命题，如果当（，）时该命题成立，则可推得当时该命题成立．现得知时命题不成立，那么可推得（ ） A．当时，该命题不成立 B．当时，该命题不成立 C．当时，该命题成立 D．当时，该命题成立 【答案】A 【解析】由于原命题与它的逆否命题的真假性相同， 因为当时命题成立，则可以推出当时该命题也成立， 所以当时命题不成立，则可以得到当时命题不成立，故选：A 【变式1-3】用数学归纳法证明命题“若为奇数，则能被整除”，在验证了正确后，归纳假设应写成（ ） A．时，能被整除； B．时，能被整除； C．时，能被整除； D．时，能被整除． 【答案】C 【解析】原命题中为奇数， 归纳假设应写为：时，能被整除.故选：C. 题型二 数学归纳法中的增项问题 【例2】用数学归纳法证明时，假设时命题成立，则当时，左端增加的项为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】当时，不等式左边等于， 当时，不等式左边等于 当时，不等式的左边比时 增加.故选：D 【变式2-1】用数学归纳法证明等式的过程中，当时等式左边与时的等式左边的差等于（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】当时，等式左边， 当时，等式左边， 故当时等式左边与时的等式左边的差为 .故选:C. 【变式2-2】用数学归纳法证明能被31整除时，从k到添加的项数共有（ ）项 A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【解析】当时，则 当时，则 ∴从k到添加的项数共有5项，故选：C. 【变式2-3】利用数学归纳法证明不等式（）的