2.3 第二课时 一元二次不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.3　第二课时　一元二次不等式的应用 明学习目标 知结构体系 课标要求 1.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义． 2.能够构建二次函数模型，解决实际问题． 重点难点 重点： 一元二次不等式的应用． 难点： 应用一元二次不等式解决实际问题. 答案：C　 答案：D　 答案：A　 答案：C　 答案：B　 s “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十三） (单击进入电子文档) 32 (一)简单的分式不等式的解法 常见分式不等式的转化 先将分式不等式移项、通分，整理成一边为0的形式，再等价转化为整式不等式求解(设f(x)＝ax＋b，g(x)＝cx＋d)，即 (1)>0⇔f(x)·g(x)>0； (2)<0⇔f(x)·g(x)<0； (3)≥0⇔f(x)·g(x)≥0且g(x)≠0； (4)≤0⇔f(x)·g(x)≤0且g(x)≠0. 答案：{x|1<x<2} 2．不等式≤1的解集为________． 解析：∵≤1，∴≥0，∴ ∴x≥1或x<0. 答案：{x|x≥1或x<0} 1．不等式<0的解集为________． 解析：原不等式⇔(x－1)(x－2)<0，解得1<x<2. (二)一元二次不等式恒成立问题 1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即 2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题． (1)当未说明不等式为一元二次不等式时，有 ①不等式ax2＋bx＋c>0对任意实数x恒成立⇔或 ②不等式ax2＋bx＋c<0对任意实数x恒成立⇔或 (2)一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0在x∈{x|m≤x≤n}时恒成立，等价于当m≤x≤n时，函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴的上方，而非等价于 答案：{a|－2<a<2} 2．对∀x∈R，不等式x2＋2x＋m>0恒成立，则实数m的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝22－4m<0，所以m>1. 答案：{m|m>1} 1．若方程x2＋ax＋1＝0的解集是∅，则实数a的取值范围是________． 解析：由题意可得Δ＝a2－4<0，所以－2<a<2. —————————————————————————————— 简单的分式不等式的解法 —————————————————————————————————— [典例]　求下列不等式的解集： (1)≥0； (2)>1. [解]　(1)法一：≥0等价于 ∴即x<－或x≥. ∴原不等式的解集为 法二：原不等式可化为或 解得x≥或x<－， ∴原不等式的解集为 (2)法一：原不等式可化为>0， 即<0，∴(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－. ∴原不等式的解集为. 法二：原不等式可化为(2－x)(x＋3)>(x＋3)2， 即(2x＋1)(x＋3)<0，∴－3<x<－， ∴原不等式的解集为. 分式不等式的解法 (1)对于比较简单的分式不等式，可直接转化为一元二次不等式或一元一次不等式组求解，但要注意等价变形，保证分母不为零． (2)对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式，先移项再通分(不要去分母)，使之转化为不等号右边为零，然后再用上述方法求解．　　 [对点训练] 1．下列不等式中，解集相同的是 (　 ) A．x2－2x<3与< B．x<5与x＋<5＋ C.>0与x－3>0 D.>0与x＋1>0 解析：对于A，x2－2x<3的解集为{x|－1<x<3}， 由<⇒<0⇒<0， 解集为{x|x<－1或1<x<3}，所以解集不同； 对于B，x＋<5＋⇒明显解集不同； 对于C，>0的解集为{x|x>3}，故两个解集相同； 对于D，>0的解集为{x|x>－1且x≠3}，与x＋1>0的解集不同．故选C. 2．若集合M＝{x|0<x≤3}，N＝，则M∩N＝ (　 ) A．{x|0<x≤1}　 B．{x|1<x<2} C．{x|0<x≤2} D．{x|0<x<1} 解析：由－2＝≤0， 得N＝{x|－2≤x<1}， 所以M∩N＝{x|0<x<1}． ————————————————————————————— 不等式恒成立问题 ————————————————————————————————— [典例]　对∀x∈R，不等式mx2－mx－1<0，求m的取值范围. [解]　若m＝0，显然－1<0恒成立； 若m≠0，则解得－4<m<0. 综上，m的取值范围为{m|－4<m≤0}． [拓展] 1．在本例中，是否存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0？若存在，求m的取值范围；若不存在，请说明理由． 解：不存在．理由：显然当m＝0时不等式不成立；当m≠0时，由题意可得解得m∈∅，所以不存在m∈R，使得∀x∈R，不等式mx2－mx－1>0. 2.在本例中，把条件“∀x∈R”改为“x∈{x