2.2 第二课时 基本不等式的应用（课件PPT）-【新课程学案】新教材2022-2023学年高中数学必修第一册（人教A版2019）

2.2　第二课时　基本不等式的应用 明学习目标 知结构体系 课标 要求 1.熟练掌握基本不等式及变形的应用． 2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题． 3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题． 重点 难点 重点：利用基本不等式求最值． 难点：基本不等式的灵活应用. 正数 答案：B 答案：50 答案：25 答案：4 内化素养 数学运算 注意检验利用基本不等式的前提条件及多次使用等号时成立的条件 逻辑推理 使用基本不等式求最值要对相关不等式利用拼、凑等方法进行变形，使之和或积为定值 答案：30 答案：D 答案：A　 答案：C　 答案：16 答案：A　 强化拓广探索 “四翼”检测评价见 “四翼”检测评价（十一） (单击进入电子文档) 40 S2 用基本不等式≥求最值应注意： (1)x，y是______． (2)①如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值______； ②如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值______. (3)讨论等号成立的条件是否满足． 2 (1)“一正”，即所求最值的各项必须都是正值，否则就容易得出错误的答案．例如，函数y＝x＋，当x<0时，绝不能认为x＋≥2，并由此得出错误结论：x＋的最小值为2.事实上，当x<0时，x＋＝－≤－2，当且仅当x＝－1时，取得最大值－2. (2)“二定”，即含变量的各项的和或者积必须是常数，即要求x＋y的最小值，xy必须是定值；求xy的最大值，x＋y必须是定值．例如，已知0<x<，求(5－3x)x的最大值，需变形为(5－3x)·3x·，这时3x＋(5－3x)＝5，为定值，且3x>0,5－3x>0. (3)“三相等”，即必须具备不等式中等号成立的条件，才能求得最大值或最小值．例如，y＝＋，满足“正”和“定”的条件，但要取等号必须满足＝，即x2＋2＝1，这是不可能的，所以函数y＝＋的最小值不是2. 答案：2 3．已知m，n∈R，m2＋n2＝100，则mn的最大值是______． 1．已知a>0，则a＋的最小值为 (　 ) A．2　　　　　　　　 B．3 C．4 D．5 2．已知正数a，b满足ab＝10，则a＋b的最小值是______． —————————————————————————————— 利用基本不等式求最值 —————————————————————————————————— [典例]　(1)已知正实数a，b满足a＋b＝2，则＋的最大值为 (　 ) A．2　　　　　 B．4 C．4 D．16 (2)若正数a，b满足a>1，b>1，且a＋b＝3，则＋的最小值为(　 ) A．4 B．6 C．9 D．16 [解析]　(1)因为(＋)2＝(a＋1)＋(b＋1)＋2·≤(a＋1)＋(b＋1)＋(a＋1)＋(b＋1)＝2(a＋b＋2)＝8，当且仅当a＝b＝1时取等号，所以＋的最大值为2. (2)由a＋b＝3，可得a－1＋b－1＝1，a－1>0，b－1>0，所以＋＝(a－1＋b－1)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当b－1＝2(a－1)，即b＝，a＝时等号成立． [答案]　(1)A　(2)C 根据条件利用基本不等式的变形求最值的方法 根据已知条件利用基本不等式求最值的基本思路有两个：一是消元的思想，转化为只有一个变量的代数式，再通过变形转化为基本不等式的形式求解；二是直接利用条件式或进行恰当地转化，然后利用基本不等式求最值，在此过程中需注意： (1)应根据已知条件适当进行“拆”“拼”“凑”“合”“变形”，创造应用基本不等式及使等号成立的条件． (2)当连续应用基本不等式时，要注意各不等式取等号时的条件是否一致，否则也不能求出最值． (3)特别注意“1”的代换．　　 [对点训练] 1．已知a>0，b>0，且a＋3b＝1，则＋的最小值是________． 解析：＋＝(a＋3b)＝4＋9＋＋≥13＋2 ＝25，当且仅当a＝，b＝时等号成立． 2．当x＜时，求x＋的最大值． 解：(2x－3)＋＋ ＝－＋＋. 当x＜时，有3－2x＞0， ∴＋≥2 ＝4， 当且仅当＝，即x＝－时取等号． ∴x＋≤－4＋＝－，故所求最大值为－. —————————————————————————————— 基本不等式的实际应用 —————————————————————————————————— [典例]　某房地产开发公司计划在一楼区内建造一个长方形公园ABCD(如图所示)，公园由长方形A1B1C1D1的休闲区和环公园人行道(阴影部分)组成．已知休闲区A1B1C1D1的面积为4 000平方米，人行道的宽分别为4米和10米． (1)若设休闲区的长和宽的比＝x(x>1)，求公园ABCD所占面积S关于x的函数解析式； (2)要使公园所占面积最小，