第7章 第1节 空间几何体及其表面积、体积（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

　空间几何体及其表面积、体积 1　利用实物、计算机软件等观察空间图形，认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 2　知道球、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 3　能用斜二测画法画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合)的直观图. 知识梳理 1．多面体的结构特征 名称 棱柱 棱锥 棱台 图形 含义 有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体 有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体 用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，截面和底面之间的部分 侧棱 平行且相等 相交于一点但不一定相等 延长线交于一点 侧面形状 平行四边形 三角形 梯形 (1)要掌握棱柱、棱锥各部分的结构特征，计算问题往往转化到一个三角形中进行解决． (2)台体可以看成是由锥体截得的，但一定要知道截面与底面平行． 2．旋转体的结构特征 名称 圆柱 圆锥 圆台 球 图形 母线 互相平行且相等，垂直于底面 相交于一点 延长线交于一点 － 轴截面 全等的矩形 全等的等腰三角形 全等的等腰梯形 圆 侧面展开图 矩形 扇形 扇环 － 旋转体要抓住“旋转”这一特点，弄清底面、侧面及展开图的形状． 3．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是 (1)“斜”：直观图中，x′轴与y′轴的夹角为45°或135°. (2)“二测”：图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半． 画直观图要注意平行、长度两个要素． 4．圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝2πrl S圆锥侧＝πrl S圆台侧＝π(r1＋r2)l 5.柱、锥、台、球的表面积和体积 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝Sh 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝Sh 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝(S上＋S下＋)h 球 S＝4πR2 V＝πR3 求旋转体的侧面积时需要将曲面展开为平面图形计算，而表面积是侧面积与底面积之和． 学霸笔记 1．台体、柱体、锥体的转化 (1)当圆台的上底面半径与下底面半径相等时，得到圆柱；当圆台的上底面半径为零时，得到圆锥．由此可得 S圆柱侧＝2πrlS圆台侧＝π(r＋r′)lS圆锥侧＝πrl. (2)柱体、锥体、台体的体积公式间的联系：V柱体＝ShV台体＝(S′＋＋S)hV锥体＝Sh. 2．斜二测画法中的“三变”与“三不变” “三变” 3．几个与球有关的切、接常用结论 (1)正方体的棱长为a，球的半径为R， ①若球为正方体的外接球，则2R＝a； ②若球为正方体的内切球，则2R＝a； ③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1. 进阶诊断 1．判断正误 (1)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．(　×　) (2)有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥．(　×　) (3)棱台是由平行于底面的平面截棱锥所得的平面与底面之间的部分．(　√　) (4)圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是2πS.(　×　) 2.(多选)(必修第二册·P111T1改编)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列结论正确的是(　AB　) A．三角形的直观图是三角形 B．平行四边形的直观图是平行四边形 C．正方形的直观图是正方形 D．菱形的直观图是菱形 3．如图，长方体ABCD­A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′，则剩下的几何体是(　C　) A．棱台 B．四棱柱 C．五棱柱 D．简单组合体 解析：由几何体的结构特征知，剩下的几何体为五棱柱． 4．(必修第二册·P119T1改编)如图，八面体的每一个面都是正三角形，并且4个顶点A，B，C，D在同一个平面内．如果四边形ABCD是边长为30 cm的正方形，那么这个八面体的表面积是(　C　) A．225 cm2 B．1 000 cm2 C．1 800 cm2 D．(900＋2 000)cm2 5．在直观图(如图所示)中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在平面直角坐标系xOy中，四边形ABCO为矩形，面积为8cm2