第6章 专题3 高考中的数列问题（Word教参）-2023高考数学一轮复习【优化指导】高中总复习·第1轮（人教A版 新教材 新高考）

专题三　高考中的数列问题 题型一　等差数列、等比数列基本量的运算 　数列与数学文化 1.(多选)在《增删算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得到其关.”其意思是“某人到某地需走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天才到达目的地.”则下列说法正确的是(　AC　) A．此人第二天走了96里路 B．此人第三天走的路程占全程的 C．此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里 D．此人第五天和第六天共走了30里路 解析：设此人第n天走了an里路，则数列{an}是首项为a1，公比q为的等比数列，其前n项和为Sn，因为S6＝378，即S6＝＝378，解得a1＝192，an＝192·()n－1，n∈N*，n≤6，由于a2＝192×＝96，即此人第二天走了96里路，A正确；由于a3＝192×＝48，＞，B错误；后五天走的路程为378－192＝186(里)，192－186＝6(里)，此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里，C正确；a5＋a6＝192×＋192×＝18，D错误. 2.十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础.著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间[0，1]均分为三段，去掉中间的区间段(，)，记为第一次操作；再将剩下的两个区间段，分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段.操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”.若使去掉的各区间长度之和不小于，则需要操作的次数n的最小值为(参考数据：lg 2＝0.301 0，lg 3＝0.477 1)(　C　) A．4 B．5 C．6 D．7 解析：第一次操作去掉的区间长度为；第二次操作去掉两个长度为的区间，长度和为；第三次操作去掉四个长度为的区间，长度和为；以此类推，第n次操作去掉2n－1个长度为的区间，长度和为，∴进行了第n次操作后，去掉区间长度和Sn＝＋＋…＋＝＝1－()n，由1－()n≥，得()n≤， ∴n≥log＝－log10＝－＝－≈5.68， 又n∈N*，∴n的最小值为6. 方　法　规　律 对于数学文化中所涉及到的数列模型，解题时应认真审题，从问题背景中提取相关信息并分析归纳，然后构造恰当的数列模型，再根据等差或等比数列的有关公式求解作答，必要时要进行检验. 　等差数列、等比数列的交汇 3.已知首项为最小正整数，公差不为零的等差数列{an}中，a2，a8，a12依次成等比数列，则a4的值是(　A　) A． B． C．－26 D．58 解析：设公差不为零的等差数列{an}的公差为d，则有d≠0，因为a2，a8，a12依次成等比数列，a1＝1，所以有a＝a2a12，即(1＋7d)2＝(1＋d)(1＋11d)，整理得19d2＋d＝0，因为d≠0，所以d＝－，因此a4＝a1＋3d＝1－＝. 4.已知公差不为0的等差数列{an}的前n项和为Sn，S1＋1，S3，S4成等差数列，且a1，a2，a5成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若S4，S6，Sn成等比数列，求n及此等比数列的公比. 解：(1)设数列{an}的公差为d. 由题意可知 整理得即∴an＝2n－1. (2)由(1)知an＝2n－1，∴Sn＝n2，∴S4＝16，S6＝36， 又S4Sn＝S，∴n2＝＝81，∴n＝9，公比q＝＝. 5.(2021·新高考卷Ⅱ)记Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，若a3＝S5，a2a4＝S4. (1)求数列{an}的通项公式an； (2)求使Sn>an成立的n的最小值. 解：(1)设公差为d， ∵S5＝5a3＝a3，∴a3＝0，∴S4＝2(a2＋a3)＝2a2. ∵a2a4＝S4，∴a2a4＝2a2. 由公差d≠0及a3＝0知a2≠0， ∴a4＝2，d＝2，则an＝a3＋2(n－3)＝2n－6. (2)Sn＝＝＝n2－5n， 由Sn>an得n2－5n>2n－6，整理得(n－1)(n－6)>0，解得n<1或n>6.∵n∈N*，∴n的最小值为7. 方　法　规　律 等差与等比数列的基本量之间的关系，利用方程思想和通项公式、前n项和公式求解.求解时，应“瞄准目标”，灵活应用数列的有关性质，简化运算过程. 题型二　数列求和 　分组与并项求和问题 已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4. (1)求{an}的通项公式； (2)设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和. 解：(1)设等差数列{an}的公差为d，等比数列{bn}的公比为q， 由b2＝3，