4.2.2 等差数列的前n项和公式 （精练）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.2 等差数列的前n项和公式 【题组1 等差数列前n项和及基本量计算】 1、设为等差数列的前项和，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意得： 设等差数列的通项公式为，则 ，解得：故选：B 2、设为等差数列的前项和，若，，则（ ）（人教A版4.2.2练习） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【解析】设等差数列的公差为， 由，得，即， 又，所以， 故.故选：C. 3、已知为等差数列的前项和，若，则（ ） A．450 B．400 C．350 D．225 【答案】D 【解析】由解得， 所以.故选:D. 4、在等差数列中，前7项的和，则___________. 【答案】 【解析】因为，所以有， 故答案为： 5、已知等差数列的前n项和满足，则（ ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】D 【解析】因为，所以， 又，所以． 故，解得．故选：D. 【题组2 由等差数列的前n项和判断等差数列】 1、已知数列的前项和，则是（ ） A．公差为2的等差数列 B．公差为3的等差数列 C．公比为2的等比数列 D．公比为3的等比数列 【答案】A 【解析】因为， 所以当时，有， ，得， 当时，适合上式， 因为， 所以该数列是以2为公差的等差数列，故选：A 2、（多选）已知数列的前n项和为则下列说法正确的是（ ） A．为等差数列 B． C．最小值为 D．为单调递增数列 【答案】AD 【解析】当时，， 当时，， 当时，满足上式， 所以， 由于，所以数列为首项为，公差为2的等差数列， 因为公差大于零，所以为单调递增数列，所以A，D正确，B错误， 由于，而， 所以当或时，取最小值，且最小值为，所以C错误， 故选：AD 3、已知数列的前n项和 （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等差数列． 【答案】（1）；（2）见解析 【解析】（1）当时，， 当时，，满足， 即数列的通项公式． （2）证明：， 当时，为常数， 则数列是等差数列． 4、设数列的各项均为正数，前n项和为，满足（，，，，，，c为常数）. （1）若，，求的通项公式； （2）若，证明为等差数列. 【答案】（1）；（2）证明见解析 【解析】（1）由，得，， 两式相减得，整理得. 因为，所以，即数列是公差为2的等差数列， 由，解得，所以的通项公式为. （2）由条件知，，成等差数列，设它们的公差为d， 由，得， 所以，① ，② ，③ ②①得，即，④ ③②得，即，⑤ ⑤④得，由于显然不合题意， 所以，代入④解得， 所以，， 上述两式相减得， 因为，∴，所以当时，数列为等差数列. 【题组3 等差数列前n项和与中项性质】 1、设等差数列的前项和为，若，则（ ） A．28 B．34 C．40 D．44 【答案】D 【解析】因为， 所以由，可得所以， 所以，故选：D 2、等差数列前项和为，，则（ ） A．32 B．42 C．52 D．62 【答案】C 【解析】等差数列中，∴. 从而，，故选：C. 3、设等差数列的前项和为，若，，则_________ . 【答案】16 【解析】因为等差数列，由，又， 所以，即. 又所以， 则. 故答案为：16. 4、已知等差数列的前项和为，若，且，则使成立的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由 又，所以公差 所以使成立的最大值为，故选：C 5、已知等差数列的前n项和为，若，则下列选项不正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】等差数列的前n项和满足，，则，， 所以，，故A，B正确； 由，可知，所以，故C正确； 因为，所以，故D不正确．故选: D 【题组4 等差数列片段和的性质】 1、设等差数列的前项和为且则（ ） A．2330 B．2130 C．2530 D．2730 【答案】D 【解析】等差数列的前项和为，则构成等差数列， 即，构成等差数列， 则，则，故选：D 2、已知数列是等差数列，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，得，设，则， 因为数列是等差数列， 所以，……，是以为首项，为公差的等差数列， 所以， 所