4.2.2 等差数列的前n项和公式 （精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.2.2 等差数列的前n项和公式 一、等差数列的前n项和公式 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 二、等差数列的前n项和常用的性质 1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； 2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 三、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 四、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 1、将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2、邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 题型一 等差数列前n项和及基本量计算 【例1】已知等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．120 B．60 C．160 D．80 【答案】A 【解析】为等差数列，， ， ，解得. .故选：A. 【变式1-1】设等差数列的前项和为，若，，则（ ） A．18 B．16 C．14 D．12 【答案】C 【解析】设的公差为，依题意可得， 即，解得， 所以，故选：C. 【变式1-2】设一个等差数列的前4项和为3，前8项和为11，则这个等差数列的公差为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设这个等差数列的公差为，首项为， 则，，解得：.故选：A 【变式1-3】在等差数列中，公差，，，则等于（ ） A．或3 B．或7 C．3或5 D．5或7 【答案】A 【解析】因为在等差数列中，公差，，， 所以，解得或，故选：A 【变式1-4】已知在等差数列中，，，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】因为是等差数列，，， 所以，解得， 则，， ，，，…，构成首项为，公差为9的等差数列， 则.故选：A． 【变式1-5】在等差数列中，已知，求通项公式及前项和. 【答案】， 【解析】令等差数列的公差为，则由，知： ，解之得； ∴根据等差数列的通项公式及前n项和公式，有： ， . 题型二 由等差数列的前n项和判断等差数列 【例2】若是数列的前项和，若，则 是（ ） A．等比数列，但不是等差数列 B．等差数列，但不是等比数列 C．等差数列，而且也是等比数列 D．既非等比数列，也非等差数列 【答案】B 【解析】当时，; 当时， 又时，，满足通项公式， 所以此数列为等差数列.故选B. 【变式2-1】已知一个数列的前项和． （1）当时，求证：该数列是等差数列； （2）若数列是等差数列，求满足条件． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【解析】（1）当时，，令，， 所以时，， 所以， 此时， 所以， 所以， 可得数列是公差为的等差数列. （2）， 令，得， 所以时，， 所以， 所以， 可得时，数列是公差为的等差数列， 若数列是等差数列，则，所以． 【变式2-2】（多选）已知数列的前项和是，则下列结论正确的是（ ） A．若数列为等差数列，则数列为等差数列 B．若数列为等差数列，则数列为等差数列 C．若数列和均为等差数列，则 D．若数列和均为等差数列，则数列是常数数列 【答案】BCD 【解析】对于A中，若数列为等差数列，可得， 因为首项不确定，所以数列为不一定是等差数列，所以A不正确； 对于B中，若数列为等差数列，设公差为， 则，可得， 当时，； 当时，， 则， 由，则， 所以，所以数列为等差数列，所以B正确； 对于C中，由数列为等差数列，可得， 则，可得， 则常数， 所以，即， 所以，所以，且，所以，所以C正确； 对于D中，由数列为等差数列，可得， 则， 可得， 因为为等差数列，所以为常数，所以， 所以，所以数列是常数数列，所以D正确. 故选：BCD. 【变式2-3】已知数列的前项的和为，且，给出下列四个命