5.2.3 简单复合函数的导数(Word教师用书)-【状元桥·优质课堂】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

5．2.3　简单复合函数的导数 [学习目标] 1.了解复合函数的概念(易混点).2.理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数(重点)． 要点一　复合函数的概念 一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成　x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x)). 思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？ 提示 函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的． 要点二　复合函数的求导法则 复合函数y＝f(g(x))的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 判断正误，正确的画“√”，错误的画“×”． (1)函数y＝sin(πx)的复合过程是y＝sin u，u＝πx.(　　) (2)f(x)＝ln(3x＋1)，则f′(x)＝.(　　) (3)f(x)＝x2cos 2x，则f′(x)＝2xcos 2x＋2x2sin 2x.(　　) 解析　(1)正确．由复合函数的概念知该命题正确． (2)错误．由复合函数的求导法则可得f′(x)＝. (3)错误．由复合函数的求导法则可得f′(x)＝2xcos 2x－2x2sin 2x. 答案　(1)√　(2)×　(3)× 类型一　复合函数的导数 规律总结 (1)求复合函数的导数的步骤 ①分层：选择中间变量，写出构成它的内、外层函数；②分别求导：分别求各层函数对相应变量的导数；③相乘：把上述求导的结果相乘；④变量回代：把中间变量回代． (2)求复合函数的导数的注意点 ①内、外层函数通常为基本初等函数．②求每层函数的导数时注意分清是对哪个变量求导，这是求复合函数导数时的易错点．③逐层求导结束后对结果进行化简整理，使导数式尽量简洁． 【例题1】 求下列函数的导数． (1)y＝e2x＋1；　　　　　(2)y＝； (3)y＝5log2(1－x)；　　(4)y＝. 解析　(1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1. (2)函数y＝可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－. (3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，所以y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝＝. (4)因为(ln 3x)′＝(ln u)′·u′＝·(3x)′＝，所以y′＝＝＝. 【变式1】 求下列函数的导数． (1)y＝103x－2； (2)y＝ln(ex＋x2)； (3)y＝x. 解析　(1)令u＝3x－2，则y＝10u.所以y′x＝y′u·u′x＝10uln 10·(3x－2)′＝3×103x－2·ln 10. (2)令u＝ex＋x2，则y＝ln u．所以y′x＝y′u·u′x＝·(ex＋x2)′＝. (3)y′＝(x)′＝＋x()′＝＋＝. 类型二　三角函数型函数的导数 规律总结 三角函数型函数的求导要求 对三角函数型函数的求导，往往需要利用三角恒等变换公式，对函数式进行化简，再进行求导．复合函数的求导法则熟悉后，中间步骤可以省略，即不必再写出函数的复合过程，直接运用公式，从外层开始由外到内逐层求导． 【例题2】 求下列函数的导数． (1)y＝cos； (2)y＝x2＋tan x. 解析　(1)因为y＝cos＝cos·sin－cos2＝sin x－(1＋cos x)＝(sin x－cos x)－，所以y′＝′＝(sin x－cos x)′＝(cos x＋sin x)． (2)因为y＝x2＋，所以y′＝(x2)′＋′＝2x＋＝2x＋. 【变式2】 求下列函数的导数． (1)y＝sin2； (2)y＝sin3x＋sin x3； (3)y＝cos4x－sin4x. 解析　(1)因为y＝sin2＝， 所以y′＝′＝sin x. (2)y′＝(sin3x＋sin x3)′＝(sin3x)′＋(sin x3)′＝3sin2xcos x＋cos x3·3x2＝3sin2xcos x＋3x2cos x3. (3)y＝cos4x－sin4x＝(cos2x＋sin2x)(cos2x－sin2x)＝cos 2x，所以y′＝(cos 2x)′＝－2sin 2x. 类型三　导数运算法则的综合应用 规律总结 (1)导数的应用中，求导数是解题的一个基本环节，应仔细分析函数解析　式的结构特征，根据导数公式及运算法则求导数，不具备导数运算法则的结构形式时，先恒等变形，然后分析题目特