专题3.2 双曲线（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.2 双曲线 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 1 【考点2：双曲线的焦点三角形问题】 8 【考点3：双曲线的几何性质】 11 【考点4：与双曲线有关的最值或范围问题】 23 【考点1：双曲线的定义与标准方程】 【知识点：双曲线的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距． 集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0. (1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线； (2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线； (3)当2a>|F1F2|时，P点不存在． 【知识点：双曲线的标准方程】 (1)中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)； (2)中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为－＝1(a>0，b>0)． 待定系数法求双曲线方程的五种类型 类型一 与双曲线－＝1有公共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0) 类型二 若已知双曲线的一条渐近线方程为y＝x或y＝－x，则可设双曲线方程为－＝λ(λ≠0) 类型三 与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b2<k<a2) 类型四 过两个已知点的双曲线的标准方程可设为－＝1(mn>0)或者＋＝1(mn<0) 类型五 与椭圆＋＝1(a>b>0)有共同焦点的双曲线方程可设为－＝1(b2<λ<a2) 1．（2021·全国·高二课时练习）若双曲线mx2＋ny2＝1的焦点在y轴上，则（    ） A．m<0，n<0 B．m>0，n>0 C．m<0<n D．n<0<m 【答案】C 【分析】根据双曲线的标准方程，即可得出结论. 【详解】双曲线可化为， 因为双曲线的焦点在轴上，所以，即． 故选：C. 2．（2022·全国·高二单元测试）已知，，，以为一个焦点作过，的椭圆，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据椭圆定义得到，转化为，得到故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，进而求出轨迹方程. 【详解】由题意得，，， 因为，都在椭圆上，所以， 所以， 故的轨迹是以，为焦点的双曲线的下支，又因为，， 即，，所以， 因此的轨迹方程是． 故选：A． 3．（2022·全国·高二课时练习）过点且与椭圆有相同焦点的双曲线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设双曲线的方程为，再代点解方程即得解. 【详解】解：由得， 所以椭圆的焦点为. 设双曲线的方程为， 因为双曲线过点， 所以. 所以双曲线的方程为. 故选：D 4．（2022·全国·高二课时练习）双曲线过焦点的弦AB，A、B两点在同一支上且长为m，另一焦点为，则的周长为（    ）． A．4a B．4a－m C．4a＋2m D．4a－2m 【答案】C 【分析】由双曲线定义得到，，两式相加得到，进而求出周长. 【详解】由双曲线的定义得：①，②， 两式相加得：， 即， 所以， 故的周长为. 故选：C 5．（2022·全国·高二课时练习）设双曲线：的左焦点和右焦点分别是，，点是右支上的一点，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求出的值，由双曲线的定义可得，由双曲线的性质可知，利用函数的单调性即可求得最小值. 【详解】由双曲线：可得 ，，所以， 所以，， 由双曲线的定义可得，所以， 所以， 由双曲线的性质可知：，令，则， 所以在上单调递增， 所以当时，取得最小值，此时点为双曲线的右顶点， 即的最小值为， 故选：C. 6．（2022·全国·高二课时练习）已知是双曲线的左焦点，，是双曲线右支上的动点，则的最小值为（    ） A．9 B．8 C．7 D．6 【答案】A 【分析】由双曲线方程求出，再根据点在双曲线的两支之间，结合可求得答案 【详解】由，得，则， 所以左焦点为，右焦点， 则由双曲线的定义得， 因为点在双曲线的两支之间， 所以， 所以，当且仅当三点共线时取等号， 所以的最小值为9， 故选：A 7．（2022·全国·高三专题练习）若方程所表示的曲线为，则下面四个命题中正确的是（    ） A．若为椭圆，则 B．若为双曲线，则或 C．曲线可能是圆 D．若为椭圆，且长轴在轴上，则 【答案】BC 【分析】分别根据选项曲线的类型列出对应的不等式，解不等式判断即可 【详解】若为椭圆，则 ，且 ，故A错误 若为双曲线，则 ， ，故B正确 若为圆，则 ， ，故C正确 若为椭圆，且长轴在轴上，则 ， ，故D错误 故选：BC 8．（2021·全国·高二专题练习）(多选)已知F1(－3，0)