4.1 数列的概念（精讲）-【题型分类归纳】2022-2023学年高二数学同步讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

4.1 数列的概念 一、数列的概念及表示方式 1、数列的有关概念 数列 按一定次序排列的一列数叫做数列 项 数列中的每一个数叫做这个数列的项 首项 数列的第1项常称为首项 通项 数列中的第项叫做数列的通项 2、数列的表示 （1）一般形式：，，，…，，… （2）字母表示：上面的数列也可以记为 注：是数列的第项，也叫通项。 3、数列的通项公式 （1）通项公式：如果数列的第项与之间的函数关系可以用一个式子表示成， 那个这个式子就叫做这个数列的通项公式，数列的通项公式就是相应函数的解析式． （2）递推公式：如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项an与它的前一项an－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式. 二、数列的分类 分类标准 类型 满足条件 项数 有穷数列 项数有限 无穷数列 项数无限 项与项间的大小关系 递增数列 其中n∈N+ 递减数列 常数列 摆动数列 从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 三、数列的函数性质 1、数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1，2，…，n})为定义域的函数，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值. 2、数列是一类特殊的函数，由于一般函数有三种表示方法，数列也不例外，有列举法、图像法和解析法。 3、判断数列的单调性的方法 （1）作差比较法：⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列． （2）作商比较法：ⅰ.当时，则 ⇔数列是递增数列； ⇔数列是递减数列； ⇔数列是常数列； ⅱ.当时，则 ⇔数列是递减数列； ⇔数列是递增数列； ⇔数列是常数列． （3）结合相应函数的图象直观判断： 写出数列对应的函数，利用导数或利用基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去． 四、求数列最大(小)项的方法 （1）构造函数，确定出函数的单调性，进一步求出数列的最大项或最小项． （2）利用，求数列中的最大项； 利用，求数列中的最小项. 当解不唯一时，比较各解大小即可确定． 五、由数列的前几项求数列的通项公式 （1）各项的符号特征，通过或来调节正负项． （2）考虑对分子、分母各个击破或寻找分子、分母之间的关系． （3）相邻项(或其绝对值)的变化特征． （4）拆项、添项后的特征． （5）通过通分等方法变化后，观察是否有规律． 【注意】根据数列的前几项求其通项公式其实是利用了不完全归纳法， 蕴含着“从特殊到一般”的数学思想，由不完全归纳法得出的结果不一定是准确的. 六、数列的通项an与前n项和Sn的关系 ①当时，a1若适合，则的情况可并入时的通项； ②当时，a1若不适合，则用分段函数的形式表示. 题型一 数列的概念及分类 【例1】现有下列说法： ①元素有三个以上的数集就是一个数列； ②数列1，1，1，1，…是无穷数列； ③每个数列都有通项公式； ④根据一个数列的前若干项，只能写出唯一的通项公式； ⑤数列可以看着是一个定义在正整数集上的函数． 其中正确的有（ ）． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【解析】对于①，数列是按一定次序排成的一列数，而数集的元素无顺序性，①不正确； 对于②，由无穷数列的意义知，数列1，1，1，1，…是无穷数列，②正确； 对于③，不是每个数列都有通项，如按精确度为 得到的不足近似值，依次排成一列得到的数列没有通项公式，③不正确； 对于④，前4项为1，1，1，1的数列通项公式可以为，等， 即根据一个数列的前若干项，写出的通项公式可以不唯一，④不正确； 对于⑤，有些数列是有穷数列，不可以看着是一个定义在正整数集上的函数， ⑤不正确，所以说法正确的个数是1.故选：B 【变式1-1】下列有关数列的说法正确的是（ ） A．同一数列的任意两项均不可能相同 B．数列，0，2与数列2，0，是同一个数列 C．数列2，4，6，8可表示为 D．数列中的每一项都与它的序号有关 【答案】D 【解析】对于A中，常数列中任意两项都是相等的，所以A不正确； 对于B中，数列，0，2与2，0，中数字的排列顺序不同， 不是同一个数列，所以B不正确； 对于C中，表示一个集合，不是数列，所以C不正确； 对于D中，根据数列的定义知，数列中的每一项与它的序号是有关的，所以D正确. 【变式1-2】下列数列既是递增数列，又是无穷数列的是（ ） A．1，2，3，…，20 B．-1，-2，-3，…，-n，… C．1，2，3，2，5，6，… D．-1，0，1，2，…，100，… 【答案】D 【解析】由递增数列和无穷数列的定义