专题3.1 椭圆（4类必考点）-2022-2023学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第一册）

专题3.1 椭圆 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 1 【考点2：椭圆的焦点三角形问题】 5 【考点3：椭圆的几何性质】 10 【考点4：与椭圆有关的最值或范围问题】 17 【考点1：椭圆的定义与标准方程】 【知识点：椭圆的定义】 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆．这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距． 集合P＝{M||MF1|＋|MF2|＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a>0，c>0，且a，c为常数： (1)若a>c，则集合P为椭圆． (2)若a＝c，则集合P为线段． (3)若a<c，则集合P为空集． 【知识点：椭圆的标准方程】 (1)焦点在x轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c2＝a2－b2. (2)焦点在y轴上的椭圆的标准方程是＋＝1(a＞b＞0)，焦点为F1(0，－c)，F2(0，c)，其中c2＝a2－b2. (3)求椭圆标准方程的两种思路方法 ①定义法：根据椭圆的定义，确定a2，b2的值，结合焦点位置可写出椭圆方程． ②待定系数法：这种方法是求椭圆方程的常用方法，具体思路是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组．如果焦点位置不确定，要考虑是否有两解，有时为了解题方便，也可把椭圆方程设为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)的形式． 1．（2022·江苏·南京市第二十九中学高二开学考试）椭圆，的顶点B、C分别是椭圆的焦点，顶点A在椭圆上，则的值为（    ） A． B． C． D．9 【答案】D 【分析】根据椭圆的定义可得，结合正弦定理将转化为边的关系，由此可求其值. 【详解】由题意可知，，所以，又的顶点B、C分别是椭圆的焦点，所以，所以由正弦定理可得， 故选：D． 2．（河南省南阳市第二完全学校高级中学2022-2023学年高二上学期10月月考数学试题）设，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P到两个焦点的距离之差为1，则的面积为（    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】C 【分析】由题意结合椭圆的定义求出，又因为，由余弦定理可求出，再求出，由三角形的面积公式即可得出答案. 【详解】因为椭圆的方程为：，则， ，是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点， 因为点P到两个焦点的距离之差为1， 所以假设，则， 解得： ，又因为， 在中，由余弦定理可得：， 所以， 所以的面积为：. 故选：C. 3．（2023·上海·高三专题练习）已知平面上动点到两个定点和的距离之和等于，则动点的轨迹方程为__． 【答案】 【分析】利用椭圆的定义求解轨迹方程. 【详解】平面上动点到两个定点和的距离之和等于， 满足椭圆的定义，可得，，则， 动点的轨迹方程为：， 故答案为：. 4．（2023·全国·高三专题练习）求满足下列各条件的椭圆的标准方程： (1)长轴是短轴的3倍且经过点； (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形，且焦点到同侧顶点的距离为； (3)经过点，两点； 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）分焦点在x轴、焦点在y轴上，设椭圆方程并代入点坐标可得答案； （2）根据和可得答案； （3）设方程为，代入坐标可得答案； 解：（1）若焦点在x轴上，设方程为， ∵椭圆过点，∴得， ∵，∴，∴方程为， 若焦点在y轴上， 设方程为， ∵椭圆过点，∴得， 又，∴，∴方程为. 综上所述，椭圆方程为或； （2）由已知，有解得，， 若焦点在y轴上，则， 若焦点在x轴上，， ∴所求椭圆方程为或； （3）设方程为， 则有，解得， 则所求椭圆方程为； 5．（2023·全国·高三专题练习）（1）求两个顶点为（3，0），（－3，0），离心率为的椭圆的标准方程； （2）过点，且与椭圆有相同焦点的椭圆的标准方程． 【答案】（1）＋y2＝1和＋＝1；（2）＋＝1. 【分析】（1）分焦点在x轴，y轴两种情况讨论，结合，b2＝a2－c2即得解； （2）写出椭圆的焦点坐标，利用椭圆定义，求解2a，结合b2＝a2－c2即得解 【详解】（1）如果焦点在x轴上，则a＝3，离心率，∴c＝2，∴b2＝a2－c2＝1， ∴椭圆的标准方程为＋y2＝1； 如果焦点在y轴上，则b＝3，将代入b2＝a2－c2中，得a2－a2＝9， ∴a2＝81，∴椭圆的标准方程为＋＝1. 故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1或＋＝1 （2）椭圆的a＝5，b＝3， ∴c＝4，焦点为（0，－4），（0，4）． 由椭圆定义知，2a＝＋， 解得a＝2.由c2＝a2－b2得b2＝4. ∴所求椭圆的标准方程为＋＝1 6．（2022·全国·高二课时练习）已知点P是椭圆上一点，它到椭圆的左焦点的距离是它到右焦点的距离的3倍，求点P的坐标． 【答