5.2 等差数列-(教参)2023山东省职教高考数学一轮总复习

􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 §5.2 等差数列 学生用书P88 学生用书P88 1.掌握等差数列的概念,会判断一个数列是否是等 差数列. 2.掌握等差数列的通项公式,会用公式解决一些简 单问题. 3.掌握等差中项的概念及其应用. 4.掌握等差数列的前n项和公式,会用公式解决一 些简单问题. 5.掌握等差数列的重要性质及其综合应用. 学生用书P88 一、等差数列的概念 一般地,如果一个数列从第二项起,每一项和它 前一项的差都等于同一个常数,则这个数列叫做 等差数列,这个常数叫做这个数列的公差,公差 通常用d来表示. 即:d=an-an-1(n∈N+,n≥2)或an+1=an+d(n ∈N+) 二、等差数列的通项公式 首项为a1,公差为d的等差数列 an 的通项公式 可以表示为:an= . 或an=am+(n-m)d. 三、等差中项 如果a,A,b成等差数列,那么A 叫做a,b的等差 中项,A= . 注意:(1)a,A,b 成 等 差 数 列⇔2A=a+b⇔A =a+b2 (2)an 是an-m,an+m的等差中项. 四、等差数列的前n项和公式 若等差数列 an 的首项为a1,公差为d,则它的前 n项和公式为Sn= =na1+ n(n-1) 2 d. 注意:等差数列的通项公式和前n项和公式,共涉 及五个量:a1,an,n,d,Sn,已知三个量可以用公式 求出另外两个量. 五、等差数列的性质 1.an=am+(n-m)d或d= am-an m-n (m,n∈N+,m≠n); 2.等差数列 an 中,若m+n=p+q,则am+an=ap +aq(其中m,n,p,q∈N+); 3.在等差数列 an 中,Sm,S2m-Sm,S3m-S2m 也成 等差数列; 4.数列 an 是等差数列的充要条件是an=an+ b(a,b为常数,a=d,b=a1-d) 或Sn=an2+bn(a,b为常数). 学生用书P89 等差数列是本章的重要知识点,是职教高考的 重点内容,求等差数列的通项公式和前n项和公式 是本节的重点内容,等差数列的性质是职教高考的 热点. 知识点1 通项公式an 的应用 【例1】 (1)已知等差数列 an 中,a1=1,a3+a5= 14,则公差d= ( ) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【解析】 a3+a5=2a1+6d=14,∴d=2. 【答案】 B (2)已知等差数列 an 中,a1=3,a3=4,则a5 等 于 ( ) A.3 B.4 C.5 D.-1 【解析】 方法一:∵a1=3,a3=a1+2d=4,∴d 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 901 职教高考·数学 =12 , 则a5=a1+4d=3+2=5. 方法二:a3 是a1 与a5 的等差中项,∴2a3=a1+ a5,a5=5. 【答案】 C (3)等差数列 an 满足,a1=1,公差d=3,若an= 298,则n= ( ) A.99 B.100 C.101 D.102 【解析】 ∵an=a1+(n-1)d=3n-2=298, ∴n=100. 【答案】 B 【举一反三】 学生用书P89 1.在等差数列3,7,11,…中,第5项为 ( ) A.15 B.18 C.19 D.23 解析:公差d=7-3=4,所以第五项等于11+4× 2=19 答案:C 2.在等差数列 an 中,a2=2,a3=4,则a10等于 ( ) A.12 B.14 C.16 D.18 解析:公差d=4-2=2,a10=a3+7d=4+2×7 =18 答案:D 3.数列 an 满足,a1=-3,an+1=an+2,则a25等于 ( ) A.98 B.-40 C.45 D.-20 解析:公 差d=2,a25=a1+24d=-3+24×2 =45 答案:C 知识点2 等差中项的性质 【例2】 已知等差数列 an 中,a4=18,a11=32,则 a18= . 【解析】 方法一:由题意可得,a4=a1+3d=18, a11=a1+10d=32,解得a1=12,d=2, 所以由a18=a1+17d,可解得a18=46. 方法二:由题意可得,d= a11-a4 11-4=2 , 由a18=a11+(18-11)d=32+14=46. 方法三:因为数列 an 是等差数列, 所以a4,a11,a18也构成等差数列, 即2a11=a4+a18, 所以由a18=2a11-a4=2×32