3.2 函数的奇偶性-(教参)2023山东省职教高考数学一轮总复习

􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 §3.2 函数的奇偶性 学生用书P39 学生用书P39 1.理解奇函数、偶函数的概念. 2.掌握奇函数和偶函数的图象特征,会判断一个函 数的奇偶性. 3.利用函数的奇偶性解决有关的数学问题. 学生用书P39 一、函数奇偶性的概念 1.定义 一般地,对于函数f(x),①如果对于函数定义域 内的任意一个x,都有 ,那么函数f(x)就 叫做奇函数.②如果对于函数定义域内的任意一 个x,都有 ,那么函数f(x)就叫做偶函 数.一个函数如果是奇函数或偶函数,则这个函 数具有 . 2.判断函数奇偶性的步骤 ①求出函数的定义域,并判断定义域是否关于原 点对称;②若不对称,则函数是非奇非偶函数;若 对称,判断f(-x)=±f(x)之一是否成立.如果 f(-x)=f(x),则函数是偶函数;如果f(-x)= -f(x),则函数是奇函数;如果f(-x)=f(x)且 f(-x)=-f(x),则函数既是奇函数又是偶函 数;如果f(-x)≠f(x)且f(-x)≠-f(x),则函 数是非奇非偶函数. 3.奇函数和偶函数的图象特征: 一个函数是奇函数的充要条件是其图象关于原 点对称,一个函数是偶函数的充要条件是其图象 关于y轴对称.这也是判断一个函数奇偶性的一 种方法(图象法). 注意:①对于常量函数y=c(c为常数且c≠0),若 定义域关于原点对称,则函数是偶函数; ②对于奇函数,若x=0时函数有意义,则f(0) =0; ③一次函数f(x)=kx+b为奇函数的充要条件 是b=0; 二次函数f(x)=ax2+bx+c为偶函数的充要条 件是b=0; ④既 是 奇 函 数 又 是 偶 函 数 的 函 数 解 析 式 为 f(x)=0(只要定义域关于原点对称,这样的函数 有无数个). ⑤如果一个函数的定义域不关于原点对称或图 象不关于原点或y轴对称时,函数没有奇偶性. 4.常见函数的奇偶性: (1)常见的奇函数有: ①f(x)=kxn(n=2k+1,k∈Z) ②f(x)= n x(n=2k+1,k∈Z) ③f(x)=a x-a-x m (a>0,a≠1,m≠0) ④f(x)=a x+1 ax-1 (a>0,a≠1) ⑤f(x)=loga 1+x 1-x (a>0,a≠1,-1<x<1) ⑥f(x)=loga(1+x2±x)(a>0,a≠1) ⑦f(x)=sinax (2)常见的偶函数有: ①f(x)=axn(n=2k,k∈Z) ②f(x)=a x+a-x m (a>0,a≠1,m≠0) ③f(x)=|x| ④f(x)=cosax 学生用书P40 知识点1 奇、偶函数的定义 【例1】 若函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, 且f(-2)=4,f(-3)=5,则f(2)与f(3)的大小 关系是 ( ) A.f(2)>f(3) B.f(2)<f(3) C.f(2)=f(3) D.无法判断 【解析】 函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数, f(-2)=4,所以f(-2)=-f(2)=4,因此f(2) =-4,f(-3)=-f(3)=5,因此f(3)=-5. 【答案】 A 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 􀤋 94 职教高考·数学 【举一反三】 学生用书P40 1.函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,已知f(1) =-3,则f(-1)的值为 ( ) A.2 B.-2 C.3 D.-3 解析:函 数 f(x)是(-∞,+∞)上 的 奇 函 数, f(-1)=-f(1)=3 答案:C 2.函数f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,且f(2020) =-3,则f(-2020)的值为 ( ) A.2020 B.-2020 C.3 D.-3 解析:奇函数的定义.f(-2020)=-f(2020)= -3.f(2020)=3. 答案:C 3.已知奇函数 f(x)满足2f(1)+f(2)=0且 f(-1)=2,则f(-2)等于 ( ) A.1 B.-2 C.4 D.-4 解析:奇 函 数 f(x),-f(1)=f(-1)= 2,2×(-2)+f(2)=0,解得f(2)=4 答案:D 知识点2 奇偶函数的图象特征 【例2】 (1)下列函数的图象是奇函数的是 ( ) 【解析】 判断函数的奇偶性,首先判断函数的定 义域是否关于原点对称,然后判断图象是否关于 原点或y轴对称,B选项的定义域为(-3,3]不关 于原点对称,是非奇非偶函数,C选项的定义域为 (-∞,+∞),但图象不关