专题3.3 二次函数与一元二次方程、不等式（5类必考点）-2022-2023学年高一数学必考点分类集训系列（苏教版2019必修第一册）

专题3.3 二次函数与一元二次方程、不等式 【考点1：三个“二次”之间的关系】 1 【考点2：解不含参的一元二次不等式】 5 【考点3：解含参的一元二次不等式】 6 【考点4：一元二次不等式存在性或恒成立问题】 9 【考点5：利用一元二次不等式解决实际问题】 11 【考点1：三个“二次”之间的关系】 【知识点：三个“二次”之间的关系】 判别式Δ＝b2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象 一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根 有两个相异实根x1，x2(x1＜x2) 有两个相等实根x1＝x2＝－ 没有实数根 一元二次不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集 {x|x<x1或x>x2} R 一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集 {x|x1＜x＜x2} 1．（2022春•甘孜州期末）若不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}​，则a+b​＝（　　） A．﹣2​ B．0 C．1 D．2 【分析】根据一元二次不等式与一元二次方程的关系解之． 【解答】解：∵不等式ax2+bx﹣2＜0​的解集为{x|﹣2＜x＜1}，∴方程ax2+bx﹣2＝0根为﹣2、1， 则，解得，a＝1，b＝1，∴a+b＝2， 故选：D． 2．（2022春•让胡路区校级期末）若不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则ax+b＞0的解集为（　　） A． B． C． D． 【分析】利用根于系数的关系先求出a，b，再解不等式即可． 【解答】解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是．则根据对应方程的韦达定理得到：． 解得， 则解集为{x|x<}． 故选：A． 3．（2021秋•威宁县期末）已知不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则a，b的值是（　　） A．﹣3，﹣6 B．﹣6，﹣1 C．6，3 D．3，6 【分析】由题意，利用一元二次不等式的解法，韦达定理，求得a、b的值． 【解答】解：不等式ax2+bx+1＞0的解集为，则，为ax2+bx+1＝0的两个实数根， ∴，，求得a＝﹣6，b＝﹣1， 故选：B． 4．（2022春•双鸭山期末）已知关于x的不等式ax2+bx+c＞0的解集为{x|x}，则不等式cx2﹣bx+a＜0的解集是（　　） A．{x|x或x} B．{x|x} C．{x|x或x} D．{x|x} 【分析】由已知结合二次方程与二次不等式的关系可得a，b，c的关系及范围，然后结合二次不等式的求法即可求解． 【解答】解：由题意得， 所以b＝﹣2a＞0，c＝﹣8a＞0， 所以不等式cx2﹣bx+a＝﹣8ax2+2ax+a＜0， 即8x2﹣2x﹣1＜0， 解得x． 故选：B． 5．（2021秋•许昌期末）已知{x|a＜x＜b}是关于x的一元二次不等式nx2﹣2x+1＜0的解集，则4a+3b的最小值为（　　） A． B． C． D． 【分析】根据不等式与对应方程的关系，结合根与系数的关系，得出a与b的关系式，再利用基本不等式求4a+3b的最小值． 【解答】解：因为{x|a＜x＜b}是不等式nx2﹣2x+1＜0的解集， 所以a，b是方程nx2﹣2x+1＝0的两个实数根且n＞0， 所以a+b，ab， 所以2，且a＞0，b＞0； 所以4a+3b•（4a+3b）•（） •（7）（7+2）（7+4）2， 当且仅当b＝2a时“＝”成立； 所以4a+3b的最小值为2． 故选：C． 6．（2021秋•金水区校级期末）已知关于x的不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为，则不等式bx2+cx﹣a＞0的解集为（　　） A．{x|x＞3或x＜﹣2} B．{x|﹣2＜x＜3} C．{x|x＞2或x＜﹣3} D．{x|﹣3＜x＜2} 【分析】根据根与系数的关系得到a，b，c的关系，解不等式，求出不等式的解集即可． 【解答】解：根据题意，因为不等式ax2﹣bx+c＜0的解集为{x|x}， 所以和是方程ax2﹣bx+c＝0的两根且a＞0， 则有，分析可得：b，c， 不等式bx2+cx﹣a＞0即ax2﹣ax﹣6a＞0，（a＞0）， ∴x2﹣x﹣6＞0， ∴（x﹣3）（x+2）＞0， 解得：x＞3或x＜﹣2， 故不等式的解集是{x|x＞3或x＜﹣2}， 故选：A． 7．（2021秋•河南期末）已知方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和5，则不等式x2+px+q＞0的解集是 　{x|x＜﹣3或x＞5}　． 【分析】根据一元二次不等式与对应方程的关系，写出该不等式的解集． 【解答】解：因为方程x2+px+q＝0的两根为﹣3和5， 所以不等式x2+px+q＞0的解集是{x|x＜﹣3或x＞5}． 故答案为：{x|x＜﹣3或x＞5}． 8．（2022春•赤峰期末）若关于x的不等式的解集为{x|0