4.4 数学归纳法-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 课程标准 课标解读 1.了解数学归纳法的原理. 2.能用数学归纳法证明一些简单的数学命题． 通过本节课的学习，要求掌握数学归纳法的方法与步骤，并能用此方法证明一些等式及不等式成立.学会用数 推理的思想及方式有步骤严谨地证明数学中相关的等式及不等式的成立. 知识点1 数学归纳法 (1)数学归纳法的定义 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： ①(归纳奠基)证明当n取第一个值时命题成立； ②(归纳递推)假设当时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．这种证明方法叫做数学归纳法． (2)数学归纳法的证明形式 记P(n)是一个关于正整数n的命题．我们可以把用数学归纳法证明的形式改写如下： 条件：① P(n0)为真；②若P(k)为真，则P(k＋1)也为真． 结论：P(n)为真． 注：在数学归纳法的两步中，第一步验证(或证明)了当n＝n0时结论成立，即命题P(n0)为真；第二步是证明一种递推关系，实际上是要证明一个新命题：若P(k)为真，则P(k＋1)也为真．只要将这两步交替使用，就有P(n0)真，P(n0＋1)真……P(k)真，P(k＋1)真……，从而完成证明． (3)数学归纳法的框图表示 2.“归纳—猜想—证明”的一般步骤 【即学即练1】（2022·江苏·高二专题练习）用数学归纳法证明1＋a＋a2＝ (a≠1，n∈N*)，在验证当n＝1时，左边计算所得的式子是（    ） A．1 B．1＋a C．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a4 【解析】当n＝1时，左边的最高次数为1， 即最后一项为a，左边是1＋a， 故选：B. 【即学即练2】（2022·全国·高二专题练习）用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ） A． B． C． D． 【解析】由题意得，当时，不等式为． 故选：B． 【即学即练3】（2022·全国·高二课时练习）用数学归纳法证明“凸n边形的内角和等于(n－2)π”时，归纳奠基中n0的取值应为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】边数最少的凸n边形为三角形，故n0＝3. 故选：C 【即学即练4】（2022·全国·高二课时练习）记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋（    ） A． B．π