4.3.2 等比数列的前n项和公式-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.2 等比数列的前n项和公式 课程标准 课标解读 1． 掌握等比数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等比数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 2． 会利用等比数列性质简化求和运算，会利用等比数列前n项和的函数特征求最值. 3． 能处理与等比数列相关的综合问题 通过本节课的学习，要求能掌握等比数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等比数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决等比数列的相关问题，会利用等比数列的性质灵活解决与之相关的问题. 知识点1 等比数列的前n项和公式 已知量 首项a1，项数n与公比q 首项a1，末项an与公比q 公式 Sn＝ Sn＝ 注：（1）等比数列前n项和公式的推导 若等比数列{an}的首项是a1，公比是q，如何求该等比数列的前n项的和？ 思路一：因为Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an， 所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1， 上式中每一项都乘等比数列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn， 发现上面两式中有很多相同的项，两式相减可得Sn－qSn＝a1－a1qn， 即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，当q≠1时，有Sn＝，而当q＝1时，Sn＝na1.上述等比数列求前n项和的方法，我们称为“错位相减法”． 思路二：当q≠1时，由等比数列的定义得：＝＝…＝＝q， 根据等比数列的性质，有＝＝q， ＝q⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝，该推导方法围绕基本概念，从等比数列的定义出发，运用等比数列的性质，推导出了公式，通过上述两种推导方法，我们获得了等比数列的前n项和的两种形式，而这两种形式可以利用an＝a1qn－1相互转化． 思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)， 所以有Sn＝a1＋qSn－1⇒Sn＝a1＋q(Sn－an)⇒(1－q)Sn＝a1－anq， 所以当q≠1时，Sn＝或Sn＝，显然方程的思想在本次推导过程中显示了巨大的威力，在已知量和未知量之间搭起桥梁，使我们不拘泥于课本，又能使问题得到解决． （2）在通项公式和前n项和公式中共出现了五个量：a1，n，q，an，Sn.知道其中任意三个，可求其余两个.(和各已知三个可求第四个 （3）注意求和公式中是，通项公