4.3.1 等比数列的概念-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.3.1 等比数列的概念 课程标准 课标解读 1.理解等比数列的定义.会推导等比数列的通项公式，能运用等比数列的通项公式解决一些简单的问题.掌握等比中项的概念. 2.能根据等比数列的定义推出等比数列的常用性质.能运用等比数列的性质解决有关问题. 通过本节课的学习，要求能应用等比数列的定义判断等比数列，会应用等比数列的通项公式进行基本量的求解，能应用等比数列的性质解决与等比数列相关的问题. 知识点1 等比数列有关概念 1. 等比数列定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示，即：. 注：(1)定义的符号表示：＝q(n∈N*且n≥2)或＝q(n∈N*)；(2)定义强调“从第2项起”，因为第一项没有前一项；(3)比必须是同一个常数；(4)等比数列中任意一项都不能为0；(5)公比可以为正数、负数，但不能为0. 2．等比数列通项公式为：（an＝a1qn－1an＝am·qn－m），通项公式还可以写成，它与指数函数有着密切的联系，从而可以利用指数函数的性质来研究等比数列． 注：（1）等比数列通项公式的推导 设一个等比数列的首项是a1，公比是q，则由定义可知＝q(n∈N*且n≥2)． 方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1， 当n＝1时，上式也成立． 方法二　a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， … 由此可得an＝a1qn－1，当n＝1时，上式也成立． （2） 由等比数列的通项公式可以知道：当公比时该数列既是等比数列也是等差数列； （3）等比数列的通项公式知：若为等比数列，则. 3．等比中项 如果在中间插入一个数，使成等比数列，那么叫做的等比中项，即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒G2＝ab． 注：①只有当两个数同号时，这两数才有等比中项，且等比中项有两个，它们互为相反数. ②在等比数列中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等比中项； ③与等比数列中的任一项“等距离”的两项之积等于该项的平方，即在等比数列中， ． ④等比中项与等差中项的异同，对比如下表： 对比项 等差中项 等比中项 定义 若a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项 若a，G，b