2.2.2 直线的两点式方程-2022-2023学年高二数学【知识梳理+题型探究+跟踪训练+达标检测】同步讲义系列(人教A版2019选择性必修第一册）

2．2.2　直线的两点式方程 知识点　直线的两点式方程和截距式方程 名称 两点式 截距式 条件 两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2) (x1≠x2，y1≠y2) 在x，y轴上的截距分别为a，b ( a≠0，b≠0) 示意图 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 斜率存在且不为0 斜率存在且不为0，不过原点 【题型目录】 题型一、直线的两点式方程 题型二、直线与坐标轴围成图形的面积问题 题型二、直线的截距式方程 题型一、直线的两点式方程 1．已知直线过点和点，则该直线方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直线的两点式方程求解即可. 【详解】由直线的两点式方程可得该直线方程为，即，化简可得. 故选：B 2．如果直线l过，两点，点在l上，那么b的值为______. 【答案】2023 【分析】利用两点式求出直线l的方程，再代入点的坐标求解即可. 【详解】直线l的方程为：，即， 因为在l上，所以，解得：. 故答案为：2023 3．在中，已知点，，．求边上中线所在直线的两点式方程． 【答案】 【分析】先求得线段BC的中点D的坐标，再代入直线的两点式方程即可解决. 【详解】因为，，所以线段BC的中点D的坐标为． 又BC边上的中线经过点， 所以BC边上中线的两点式方程为． 4．入射光线从点出发，经过直线反射后，通过点，求反射光线所在的直线方程． 【答案】 【分析】结合光反射的性质求出点关于的对称点的坐标，进而结合两点式即可求出结果. 【详解】因为点关于的对称点为，所以所求的直线方程为． 即：. 题型二、直线与坐标轴围成图形的面积问题 5．若直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形，且此三角形的面积为18，则直线l的方程为________. 【答案】或 【分析】由题意可得直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0，设直线方程为，其中，根据三角形面积即可求解. 【详解】解：因为直线l与两坐标轴围成一个等腰直角三角形， 所以直线l在两坐标轴上的截距的绝对值相等且不为0. 设直线方程为，则. 因为，即，所以， 所以时，，当时，， 所以直线方程为或. 故答案为: 或. 6．已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，当面积最小时，求直线的方程． 【答案】x＋2y－4＝0 【分析】方法一：设直线的方程为，则，然后表示出的面积，利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出直线的方程，方法二：设直线：，则，然后利用基本不等式可得，从而可求出其最小值，进而可求出直线的方程. 【详解】方法一：由题意可得直线的斜率存在，设直线的方程为， 则， 所以 ， 当且仅当，即时，取等号， 故直线的方程为， 即. 方法二：设直线：， 因为直线l过点， 所以， 则，所以，当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 此时，故直线的方程为， 即. 题型二、直线的截距式方程 7．若直线过点，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线方程为________ 【答案】或或 【分析】分直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0和等于0两种情况，分别设直线方程为或和，进而即得. 【详解】当直线在两坐标轴上截距绝对值相等且不等于0， 设方程为或， ∵直线过 ∴或， ∴或， ∴或 ②当直线在两坐标轴截距绝对值相等且等于0时， 设方程为， ∵直线过， ∴， ∴， ∴， 综上所述，方程为或或. 故答案为：或或. 8．在平面直角坐标系中,经过点的直线与轴交于点,与轴交于点.若,则直线的方程是_________. 【答案】. 【详解】分析：设，由列方程组求出，利用截距式可得结果. 详解：设，由， 可得， 则，由截距式可得直线方程为， 即，故答案为. 点睛：本题主要考查向量相等的性质以及直线的方程，直线方程主要有五种形式，每种形式的 直线方程都有其局限性，斜截式与点斜式要求直线斜率存在，所以用这两种形式设直线方程时要注意讨论斜是否存在；截距式要注意讨论截距是否为零；两点式要注意讨论直线是否与坐标轴平行；求直线方程的最终结果往往需要化为一般式. 9．过点作直线与两坐标轴的正半轴相交，当直线在两坐标轴上的截距之和最小时，求此直线方程． 【答案】 【分析】由题意设直线的方程为，则可得，所以，化简后利用基本不等式可求出其最小值，从而可求出的值，进而可求出直线方程. 【详解】解：设直线的方程为． 把点代入可得． ， 当且仅当时取等号，的最小值为9， 此时直线的方程为． 10．设直线的方程为． (1)若直线在两坐标轴上截距的绝对值相等，求直线的方程； (2)若直线不经过第二象限，求实数的取值范围． 【答案】(1)或或；(2) 【分析】（1）当时显然不成立，当时求出直线与两坐标轴的交点坐标，即可得到方程，解得，再代入计算可得； （2）将直线方程化为斜