4.3.1 第2课时 等比数列的性质及应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等比数列的性质及应用 课程标准 核心素养目标 1．能在具体问题情境中，发现数列的等比关系，并解决相应的问题． 2．掌握等比数列的有关性质，并能解决一些简单问题． 1．能根据等比数列的定义推出等比数列的性质．(逻辑推理) 2．能运用等比数列的性质解决有关问题．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P21] 1．等比数列通项公式的推广 通项公式 通项公式的推广 an＝a1qn－1(揭示首、末两项的关系) an＝amqn－m(揭示任意两项之间的关系) 2．等比数列项的运算性质 若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am·an＝ap·aq． (1)特别地，当m＋n＝2k(m，n，k∈N*)时，am·an＝a. (2)对有穷等比数列，与首、末两项“等距离”的两项之积等于首、末两项之积，即a1·an＝a2·an－1＝…＝ak·an－k＋1＝…. 等比数列的常用结论 (1)若数列{an}是公比为q的等比数列，则： ①{can}(c为任一常数)是公比为q的等比数列； ②{|an|}是公比为|q|的等比数列； ③{a}(m为常数，n∈N*)是公比为qm的等比数列． (2)若{an}，{bn}分别是公比为q1，q2的等比数列，则数列{an·bn}是公比为q1·q2的等比数列． [微练1]在等比数列{an}中，若a1，a10是方程3x2－2x－6＝0的两根，则a4·a7＝(　　) A．－6 B．－2 C．2 D． B　解析：a4a7＝a1a10＝＝－2. [微练2]在等比数列{an}中，an>0，且a1a10＝27，则log3a2＋log3a9等于(　　) A．9 B．6 C．3 D．2 C　解析：因为a2a9＝a1a10＝27，所以log3a2＋log3a9＝log3 a2·a9＝log327＝3. [对应学生用书P21] 知识点一 等比数列的应用题 某人买了一辆价值10万元的新车，专家预测这种车每年按10%的速度贬值． (1)用一个式子表示第n(n∈N*)年这辆车的价值； (2)如果他打算用满3年时卖掉这辆车，他大概能得到多少钱？ 解：(1)从第一年起，每年车的价值(万元)依次设为a1，a2，a3，…，an， 由题意得a1＝10，a2＝10×(1－10%)，a3＝10(1－10%)2，…. 由等比数列定义知，数列{an}是等比数列，首项a1＝10，公比q＝1－10%＝0.9， 所以an＝a1·qn－1＝10×0.9n－1. 所以第n年车的价值为an＝10×0.9n－1万元． (2)当他用满3年时，车的价值为a4＝10×0.94－1＝7.29(万元). 所以用满3年卖掉时，他大概能得7.29万元． “十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献．十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于.若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为(　　) A．f B．f C．f D．f D　解析：由题知，这十三个单音的频率构成首项为f，公比为的等比数列，则第八个单音的频率为()7f＝f.故选D. 知识点二 等比数列的性质及应用 (1)(2022·山东临沂高二月考)在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8· a12＝(　　) A．8 B．10 C．16 D．32 (2)在等比数列{an}中，已知a4a7＝－512，a3＋a8＝124，且公比q为整数，则an＝________． (1)C　(2)－(－2)n－1　解析：(1)因为a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，所以a1·a19＝16，又因为数列{an}是等比数列，所以a8· a12＝ a1·a19＝16，故选C. (2)在等比数列{an}中，由a4a7＝－512得a3a8＝－512，又a3＋a8＝124，解得a3＝－4，a8＝128或a3＝－128，a8＝4，因为公比q为整数，所以q＝＝－＝－2，故an＝－4×(－2)n－3＝－(－2)n－1. [探究] 将本例(2)中等比数列满足的条件改为“a4＋a7＝2，a5a6＝－8”，求a1＋a10. 解：因为{an}是等比数列，所以a5a6＝a4a7＝－8，又a4＋a7＝2，解得a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4， 当a4＝4，a7＝－2时，q3＝－，a1＋a10＝＋a7q3＝－7，当a4＝－2，a7＝4时，q3＝－2，a1＋a10＝＋a7q3＝－7.故a1＋a10＝－7. 等比数列运算的两条常用思路 (1)根据已知条件，寻找、列出两个方程，确定a1，d，然后