4.3.1 第1课时 等比数列的概念（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．3　等比数列 4．3.1　等比数列的概念 第1课时　等比数列的概念 课程标准 核心素养目标 1．通过生活中的实例，理解等比数列的概念． 2．掌握等比数列通项公式的意义． 1．理解等比数列、等比中项的概念．(数学抽象) 2．掌握等比数列的通项公式，能运用公式解决相关问题．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P18] 1．等比数列的概念 一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示(q≠0). 等比数列定义的理解 (1)由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不能为零，因此q也不可能为零． (2)均为同一常数，由此体现了公比的意义，同时应注意分子、分母次序不能颠倒． (3)如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它的前一项之比是同一个常数，那么这个数列不是等比数列． 2．等比中项 (1)条件：如果a，G，b成等比数列． (2)结论：那么G叫做a与b的等比中项． (3)满足的关系式是G2＝ab． (1)与“任意两个实数a，b都有唯一的等差中项A＝”不同，只有当a，b同号时，a，b才有等比中项，并且 有两个等比中项，分别是与－；当a，b异号时没有等比中项． (2)在一个等比数列中，从第2项起，每一项(有穷数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等比中项． [微练1]2＋和2－的等比中项是(　　) A．1 B．－1 C．±1 D．2 C　解析：设2＋和2－的等比中项为a，则a2＝(2＋)(2－)＝1，即a＝±1. [微练2]在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6＝(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 C　解析：由于a＝a2·a6，所以a2·a6＝16. 3．等比数列的通项公式 首项为a1，公比为q的等比数列{an}的通项公式是an＝a1qn－1． 1．等比数列的通项公式an＝a1qn－1共涉及a1，q，n，an四个量，已知其中三个量可求得第四个量． 2．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝·qn，而y＝·qx　(q≠1)是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积，从图象上看，数列中的各项的点是函数y＝·qx的图象上的一系列孤立点． [微练3]若等比数列的首项为4，末项为128，公比为2，则这个数列的项数为(　　) A.4 B．8 C.6 D．32 C　解析：由等比数列的通项公式得，128＝4×2n－1，2n－1＝32，所以n＝6. [微练4]已知数列{an}是等比数列，a1＝1，a4＝2，则a3＝(　　) A.±2 B．2 C.－2 D．4 B　解析：设等比数列{an}的公比为q，则有1×q3＝2＝()3，故q＝，所以a3＝＝2，故选B. [对应学生用书P19] 知识点一 等比数列的概念 判断下列数列是否为等比数列． (1)1，3，32，33，…，3n－1，…； (2)－1，1，2，4，8，…； (3)a1，a2，a3，…，an，…. 解：(1)记数列为{an}，显然a1＝1，a2＝3，…，an＝3n－1，…. ∵＝＝3(n≥2，n∈N*)， ∴数列为等比数列，且公比为3. (2)记数列为{an}，显然a1＝－1，a2＝1，a3＝2，…， ∵＝－1≠＝2，∴此数列不是等比数列． (3)当a＝0时，数列为0，0，0，…是常数列，不是等比数列； 当a≠0时，数列为a1，a2，a3，a4，…，an，…，显然此数列为等比数列，且公比为a. 判定等比数列，要抓住的3个要点 (1)从第二项起． (2)要判定每一项，不能有例外． (3)每一项与前一项的比是同一个常数，且不能为0. (多选)下列各组数成等比数列的是(　　) A．1，－2，4，－8 B. －，2，－2，4 C．x，x2，x3，x4 D．a－1，a－2，a－3，a－4 ABD　解析：A，B选项中的数列显然是等比数列；由于x可能为0，C选项中的数列不是等比数列；a不能为0，D选项中的数列符合等比数列的定义，故D是等比数列． 知识点二 等比中项 已知等比数列的前三项和为168，a2－a5＝42，求a5，a7的等比中项． 解：设该等比数列{an}的公比为q，首项为a1， ∵ ∴ ∵1－q3＝(1－q)(1＋q＋q2). 上述两式相除，得q(1－q)＝⇒q＝. ∴a1＝＝＝96. 若G是a5，a7的等比中项，则应有 G2＝a5·a7＝a1q4·a1q6＝aq10＝962·()10＝9. ∴a5，a7的等比中项是±3. (1)任意两个实数都有唯一确定的等差中项． (2)只有同号的两个实数才有实数等比中项，且一定有2个．