4.2.2 第2课时 等差数列前n项和的应用（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

第2课时　等差数列前n项和的应用 课程标准 核心素养目标 1．能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系，并能解决相应的问题． 2．会求等差数列前n项和的最值． 1．掌握等差数列求和的实际应用．(数学建模) 2．掌握求解等差数列前n项和最值的三种方法．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P15] 等差数列的前n项和的最值 (1)等差数列前n项和公式的函数特征 由Sn＝na1＋d＝dn2＋(a1－d)n，当d≠0时，Sn是关于n的二次函数，且不含常数项，即Sn＝An2＋Bn(A≠0)； 当d＝0时，Sn＝na1，Sn是关于n的一次函数． (2)等差数列前n项和的最值 ①若a1<0，d>0，则数列的前面若干项为负数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最小值． ②若a1>0，d<0，则数列的前面若干项为正数项(或0)，所以将这些项相加即得Sn的最大值． 特别地，若a1>0，d>0，则S1是Sn的最小值；若a1<0，d<0，则S1是Sn的最大值． [微练1]设数列{an}是等差数列，且a2＝－8，a15＝5，Sn是数列{an}的前n项和，则(　　) A．S9<S10 B．S9＝S10 C．S11<S10 D．S11＝S10 B　解析：由已知得d＝＝1.故a1＝－9.所以a10＝a1＋9d＝0.所以S10＝S9＋a10＝S9. [微练2]已知数列{an}的通项公式是an＝2n－48，则Sn取得最小值时，n为________． 23或24　解析：由2n－48≤0得n≤24.所以所有负项的和最小，即n＝23或n＝24. [对应学生用书P15] 知识点一 等差数列求和的实际应用 某水泥厂计划用一台小型卡车从厂区库房运送20根水泥电线杆，到一条公路沿着路侧架设，已知库房到该公路入口处距离500米，从库房出发卡车进入公路后继续行驶，直到离入口50米处时放下第一根电线杆，然后沿着该公路同一侧边每隔50米逐一放下余下电线杆，放完折返库房重新装运剩余电线杆．已知卡车每趟从库房最多只能运送3根水泥杆．问：卡车运送完这批水泥杆，并最终返回库房，至少运送几趟？最少行驶多少米？ 解：因为每趟从库房最多只能运送3根水泥杆，20＝3×6＋2，所以至少运送7趟， 第一趟运送2根，后6趟每次运送3根时行驶路程最少，后6趟行驶路程构成以(500＋50×5)×2为首项，(50×3×2)为公差的等差数列，最少行驶6×(500＋50×5)×2＋×(50×3×2)×6×5＋(500＋50×2)×2＝14 700(米)， 所以至少运送7趟，最少行驶14 700米． 与数列有关的实际问题的求解策略 遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点： (1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型． (2)深入分析题意，确定是求通项公式an，还是求前n项和Sn，还是求项数n. 为了参加5 000 m长跑比赛，李强给自己制订了10天的训练计划；第1天跑5 000 m，以后每天比前一天多跑400 m，李强10天一共跑了多少m? 解：将李强每一天跑的路程记为数列{an}，由题意知，{an}是等差数列，则a1＝5 000，公差d＝400. 所以S10＝10a1＋d＝10×5 000＋45×400＝68 000(m)， 故李强10天一共跑了68 000 m． 知识点二 等差数列前n项和的最值问题 在等差数列{an}中，a10＝18，前5项的和S5＝－15. (1)求数列{an}的通项公式； (2)求数列{an}的前n项和的最小值，并指出何时取最小值． 解：(1)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d， 由题意得解得 所以an＝3n－12. (2)方法一　Sn＝＝(3n2－21n)＝(n－)2－， 所以当n＝3或4时，前n项和取得最小值， 最小值为S3＝S4＝－18. 方法二　设Sn最小，则 即解得3≤n≤4， 又n∈N*，∴当n＝3或4时，前n项和取得最小值，最小值为S3＝S4＝－18. [探究1] 在本例中，根据第(2)题的结果，若Sn＝0，求n. 解：方法一　因为S3＝S4＝－18为Sn的最小值，由二次函数的图象可知，其对称轴为x＝，所以当x＝0或x＝7时，图象与x轴的交点为(0，0)，(7，0)，又n∈N*，所以S7＝0，所以n＝7. 方法二　因为S3＝S4，所以a4＝S4－S3＝0，故S7＝×7×(a1＋a7)＝7a4＝0，所以n＝7. [探究2] 将本例变为等差数列{an}中，设Sn为其前n项和，且a1>0，S3＝S11，则当n为多少时，Sn最大？ 解：方法一　由S3＝S11，可得3a1＋d＝11a1＋d， 即d＝－a1. 从而Sn＝n2＋(a1－)n＝－(n－7)2＋a1， 又a1>0，所以－