4.2.2 第1课时 等差数列的前n项和公式（Word教师用书）-【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教A版2019）

4．2.2　等差数列的前n项和 第1课时　等差数列的前n项和公式 课程标准 核心素养目标 1．探索并掌握等差数列前n项和公式． 2．理解等差数列的通项公式与前n项和公式的关系． 1．熟练掌握等差数列前n项和的基本运算．(数学运算) 2．掌握等差数列的相关性质及应用．(逻辑推理、数学运算) [对应学生用书P13] 等差数列的前n项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和 公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 在a1，d，n，an，Sn中，“知三求二” (1)在等差数列{an}中，an＝a1＋(n－1)d，Sn＝或Sn＝na1＋d.两个公式共涉及a1，d，n，an及Sn五个基本量，它们分别表示等差数列的首项、公差、项数、末项和前n项和． (2)依据方程的思想，在等差数列前n项和公式中，已知其中三个量可求另外两个量，即“知三求二”． [微练1]等差数列{an}的前n项和Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6＝(　　) A．6 B．8 C．10 D．12 D　解析：因为S3＝3a1＋3d＝12，又a1＝2，所以d＝2，所以a6＝a1＋5d＝12.故选D. [微练2]已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4＝18－a5，则S8＝(　　) A．72 B．54 C．36 D．18 A　解析：由a4＝18－a5，可得a4＋a5＝18，所以S8＝＝4(a4＋a5)＝4×18＝72，故选A. [微练3]已知等差数列{an}，若a2＝10，a5＝1，则{an}的前7项的和是(　　) A．112 B．51 C．28 D．18 C　解析：由题意知，解得则S7＝7a1＋d＝28，故选C. [对应学生用书P13] 知识点一 等差数列前n项和的基本运算 (1)(2022·山东临沂高二检测)等差数列{an}前n项和为Sn，公差d＝－2，S3＝21，则a1的值为(　　) A．10 B．9 C．6 D．5 (2)(2022·西南大学附中开学考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S9＝81，则a2＋a5＋a8＝(　　) A．26 B．27 C．28 D．29 (1)B　(2)B　解析：(1)方法一　∵S3＝21，∴3a1＋d＝21，∴a1＋d＝7，∵d＝－2，∴a1＝9. 方法二　S3＝21，∴3a2＝21，∴a2＝7，∵a1＝a2－d，∴a1＝9.故选B. (2)由题干可知，等差数列{an}的前9项和为81，则有＝81，化简可得a1＋a9＝18，又因为a1＋a9＝a2＋a8＝2a5，因此a2＋a5＋a8＝a2＋a8＋a5＝18＋9＝27.故选B. 等差数列中基本计算的两个技巧 (1)利用基本量求值． (2)利用等差数列的性质解题． (1)(2022·福建漳州月考)已知Sn为等差数列{an}的前n项和，若a5＋6＝2a7，则S17的值为(　　) A．49 B．54 C．102 D．135 (2)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a4＋a5＝24，S6＝48，则{an}的公差为(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 (1)C　(2)C　解析：(1)设等差数列{an}的公差为d，则a5＋6＝2a7，即a7＋ a7－a5＝6，a7＋2d＝6，a9＝6，故S17＝×17＝×17＝17a9＝102，故选C. (2)方法一　设等差数列{an}的公差为d，依题意解得d＝4. 方法二　等差数列{an}中，S6＝＝48，则a1＋a6＝16＝a2＋a5.又a4＋a5＝24，所以a4－a2＝2d＝24－16＝8，所以d＝4. 知识点二 等差数列前n项和性质的应用 (1)已知等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为(　　) A．130 B．170 C．210 D．260 (2)等差数列{an}与{bn}的前n项和分别为Sn和Tn，若＝，则＝(　　) A． B． C． D． (1)C　(2)A　解析：(1)利用等差数列前n项和的性质：S3，S6－S3，S9－S6成等差数列．所以S3＋(S9－S6)＝2(S6－S3)，即30＋(S9－100)＝2×(100－30)，解得S9＝210. (2)＝＝＝＝＝.故选A. 等差数列前n项和的性质 在等差数列{an}中，Sn为其前n项和，则： (1)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，构成等差数列； (2)S2n＝n(a1＋a2n)＝…＝n(an＋an＋1)； (3)S2n－1＝(2n－1)an. (1)等差数列{an}共有2n＋1项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则n＝________．