模块复习课(一) 第二课时 常用逻辑用语（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

第二课时　常用逻辑用语 　条件的充要关系的常用判定方法 (1)定义法：直接判断若p则q，若q则p的真假． (2)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若A＝B，则A是B的充要条件． [训练1]　已知a，b是实数，则“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的(　　) A．充分不必要条件　　　 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 C　[∵a>0且b>0⇔a＋b>0且ab>0， ∴“a>0且b>0”是“a＋b>0且ab>0”的充要条件．] [训练2]　设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 A　[当四边形ABCD为菱形时，其对角线互相垂直，必有AC⊥BD；但当AC⊥BD时，四边形不一定是菱形，因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．] [训练3]　对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈(A∪B)的________条件． 充要　[由x∈B，显然可得x∈(A∪B)；反之，由A⊆B，得A∪B＝B，所以由x∈(A∪B)可得x∈B，故x∈B是x∈(A∪B)的充要条件．] 　解题时需注意 (1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解． (2)要注意区间端点值的检验． [训练4]　已知α：x≥a，β：|x－1|＜1.若α是β的必要不充分条件，则实数a的取值范围为________． (－∞，0]　[α：x≥a，可看作集合A＝{x|x≥a}， 由|x－1|＜1，得0＜x＜2，∴β可看作集合B＝{x|0＜x＜2}．又∵α是β的必要不充分条件，∴BA，∴a≤0.] [训练5]　若“x＜－1或x＞1”是“x＜a”的必要不充分条件，则a的最大值是多少？ 解　∵“x＜－1或x＞1”是“x＜a”的必要不充分条件， ∴x＜a⇒ x＜－1或x＞1，但x＜－1或x＞1/⇒x＜A． 如图所示，∴a≤－1.∴a的最大值为－1. 　全称命题与特称命题真假的判断方法 (1)判断全称命题为真命题，需严格的逻辑推理证明，判断全称命题为假命题，只需举出反例． (2)判断特称命题为真命题，需要举出正例，而判断特称命题为假命题时，要有严格的逻辑证明． [训练6]　指出下列命题是全称命题还是特称命题，并判断真假． (1)∀x∈N，2x＋1是奇数； (2)存在一个x∈R，使＝0； (3)能被5整除的整数末位数是0. 解　(1)是全称命题．因为∀x∈N，2x＋1都是奇数，是真命题． (2)是特称命题．因为不存在x∈R，使＝0成立，是假命题． (3)是全称命题．因为25能被5整除，但末位数不是0，是假命题． 含有一个量词的命题的否定的求法． (1)一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称命题还是特称命题，并找到量词及相应结论，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论． (2)对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定． [训练7]　命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是(　　) A．∀x∈R，|x|＋x2<0 B．∀x∈R，|x|＋x2≤0 C．∃x∈R，|x|＋x2<0 D．∃x∈R，|x|＋x2≥0 C　[命题“∀x∈R，|x|＋x2≥0”的否定是“∃x∈R，|x|＋x2<0”．] [训练8]　判断下列命题是否为全称命题或特称命题，若是，用符号表示，并判断其真假． (1)∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0； (2)对所有的实数a，b，方程ax＋b＝0都有唯一解； (3)存在实数x，使得＝2. 解　(1)是特称命题，因为x>0，y>0.所以x2＋y2>0.所以“∃x，y为正实数，使x2＋y2＝0”为假命题． (2)是全称命题，用符号表示为“∀a，b∈R，方程ax＋b＝0都有唯一解”，是假命题． (3)是特称命题，用符号表示为“∃x∈R，＝2”，是假命题． 学科网（北京）股份有限公司 $