1.2.3 第一课时 含有量词的命题（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1．2.3　全称量词和存在量词 第一课时　含有量词的命题 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义． 2.了解全称命题和特称命题及真假． 　　通过对全称量词与存在量词、全称命题和特称命题的学习，增强数学抽象、逻辑推理的核心素养． 数学中“每一个”和“有一个”叫作量词 1．全称量词：“任意、“所有”、“每一个”等叫作全称量词，数学上用符号“∀”表示． 2．存在量词：“存在某个”、“至少有一个”等叫作存在量词，数学上用符号“∃”表示． 1．全称命题：设语句P(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“对M的任一个元素x，有P(x)成立”是命题，叫作全称命题． 2．特称命题：设语句P(x)中变量x的取值范围为集合M，则语句“存在M的某个元素x，使P(x)成立”是命题，叫作特称命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)命题“四边形的内角和是360°”是全称命题．(√) (2)命题“存在一个菱形，它的四条边不相等”是特称命题.(√) (3)命题“有的无理数的平方不是有理数”是特称命题．(√) 2．以下量词“所有”“任何”“一切”“有的”“有些”“有一个”“至少”中是存在量词的有(　　) A．2个　　　B．3个　　　C．4个　　　D．5个 C　[“有的”“有些”“有一个”“至少”都是存在量词．] 3．下列命题中，不是全称命题的为(　　) A．任何一个实数乘以0都等于0 B．自然数都是正整数 C．每一个向量都有大小 D．一定存在没有最大值的二次函数 D　[选项ABC都是全称命题，选项D是特称命题．] 4．下列命题是“∀x∈R，x2>3”的另一种表述方式的为(　　) A．有一个x∈R，x2>3 B．对有些x∈R，x2>3 C．任选一个x∈R，x2>3 D．至少有一个x∈R，x2>3 C　[“∀”和“任选一个”都是全称量词．] (1)(多选题)下列命题中是全称命题的为(　　) A．任意一个自然数都是正整数 B．在平面直角坐标系中，任意有序实数对(x，y)都对应一点P C．三角形的内角和是180° D．存在一个x∈R，使＝0 ABC　[观察分析命题是否含有“任意”“所有的”“每一个”等全称量词. A中命题含有全称量词，B中命题含有全称量词，而C中命题可以叙述为“每一个三角形的内角和都是180°”，是全称命题，D中命题含有存在量词，不是全称命题．] (2)下列语句中不是特称命题的为(　　) A．有的无理数的平方是有理数 B．有的无理数的平方不是有理数 C．对于任意x∈Z，2x＋1是奇数 D．存在x0∈R，2x0＋1是奇数 C 　[因为“有的”“存在”为存在量词，“任意”为全称量词，所以选项ABD均为特称命题，选项C为全称命题．] [方法总结]　判断一个语句是全称量词命题还是存在量词命题的思路 [训练1]　用全称量词或存在量词表示下列语句： (1)不等式x2＋x＋1>0恒成立； (2)当x为有理数时，x2＋x＋1也是有理数； (3)方程3x－2y＝10有整数解． 解　(1)对任意实数x，不等式x2＋x＋1>0成立． (2)对任意有理数x，x2＋x＋1是有理数． (3)存在一对整数x，y，使3x－2y＝10成立． (多选题)下列命题是真命题的是(　　) A．∀x∈R，x2＋2>0　　　 B．∀x∈N，x4≥1 C．∃x∈Z，x3<1 D．∃x∈Q，x2＝3 AC　[对A，由于∀x∈R，都有x2≥0，因而有x2＋2≥2>0，即x2＋2>0. 所以命题“∀x∈R，x2＋2>0”是真命题．对B，由于0∈N，当x＝0时，x4≥1不成立，所以命题“∀x∈N，x4≥1”是假命题．对C，由于－1∈Z，当x＝－1时，x3<1成立，所以命题“∃x∈Z，x3<1”是真命题．对D，由于使x2＝3成立的数只有±，±都不是有理数，因此没有任何一个有理数的平方等于3.所以命题“∃x∈Q，x2＝3”是假命题．] [方法总结]　全称命题与特称命题的真假判断的技巧 (1)全称命题的真假判断 要判定一个全称命题是真命题，必须对限定集合M中的每个元素x验证p(x)成立；但要判定全称命题是假命题，却只要能举出集合M中的一个x＝x0，使得p(x0)不成立即可(这就是通常所说的“举出一个反例”). (2)特称命题的真假判断 要判定一个特称命题是真命题，只要在限定集合M中，找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可；否则，这一特称命题就是假命题． [训练2]　判断下列命题的真假： (1)∃x∈R，x2－6x－5＝0； (2)∃x∈R，x2－x＋1＝0； (3)∀x∈R，|x＋1|>0. 解　(1)∵方程x2－6x－5＝0中，Δ＝36＋20＝56>0， ∴方程有两个不相等的实数根．∴该命题是真命题．