1.2.1 命 题（Word教参）【优化指导】2022-2023学年新教材高中数学必修第一册（湘教版2019）

1.2　常用逻辑用语 1．2.1　命　题 课程内容标准 学科素养凝练 1.通过对命题的梳理，理解命题的有关概念． 2.理解命题的否定和逆命题，会判断命题的真假． 　　通过对命题的学习，强化逻辑推理、数学抽象的核心素养． 1．命题的概念 判断可能成立，也可能不成立，两者必居其一且仅居其一的语句叫作命题． 2．命题的分类 (1)真命题：成立的命题叫作真命题． (2)假命题：不成立的命题叫作假命题． (3)猜想：暂时不知道真假的命题可以叫作猜想． (1)条件和结论：命题“若p，则q”的形式，其中p叫作命题的条件，q叫作命题的结论． (2)命题的否定：如果p是一个命题，则“p不成立”也是一个命题，叫作p的否定．记作¬p. 读作“非p”．显然，p也是 ¬p的否定．在p和 ¬p两者之中，一定有一个为真另一个为假． (3)逆命题：命题的条件和结论互换了位置，这时称其中一个是另一个的逆命题． 1．判断下列说法是否正确，正确的在它后面的括号里画“√”，错误的画“×”． (1)并非任何语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题．(√) (2)一个命题不是真命题就是假命题．(√) (3)有的命题只有结论没有条件．(×) 2．下列命题中的真命题是(　　) A．互余的两个角不相等 B．相等的两个角是同位角 C．若a2＝b2，则|a|＝|b| D．三角形的一个外角等于和它不相邻的一个内角 C　[由平面几何知识可知A、B、D三项都是错误的．] 3．若命题p：x∈A∩B，则¬p为(　　) A．x∈A且x∉B　　　　　 B．x∉A或x∉B C．x∉A且x∉B D．x∈A∪B B　[“x∈A∩B”是指“x∈A，且x∈B”，故¬p：x∉A或x∉B.] 4．下列命题： ①y＝x2＋3为偶函数；②0不是自然数；③{x∈N|0<x<12}是无限集． 其中是真命题的是________(写出所有真命题的序号). ①　[①为真命题，②③为假命题．] 判断下列语句是否是命题，并说明理由． (1)求证π是无理数； (2)若x∈R，则x2＋4x＋5≥0； (3)一个数的算术平方根一定是负数； (4)梯形是不是平面图形呢？ 解　(1)是祈使句，不是命题； (2)可以判断其是否成立，故为命题； (3)是命题，并且是假命题，因为一个数的算术平方根为非负数； (4)“梯形是不是平面图形呢？”是疑问句，所以它不是命题． [方法总结]　判断一个语句是否是命题，关键是看语句的格式，也就是要看它是否符合“可以判断成立或不成立”这个条件，如果满足这个条件，该语句就是命题，否则就不是. [训练1]　判断下列语句中哪些是命题？哪些不是命题？ (1)2＋2是有理数； (2)1＋1>2； (3)2100是个大数； (4)968能被11整除； (5)非典型性肺炎是怎样传播的？ 解　(1)(2)(4)均是命题；(3)(5)不是命题．因为(1)(2)(4)都可以判断真假，且为陈述句；(3)中的“大数”是一个模糊的概念，无法判断其真假，所以不是命题；(5)中的语句是疑问句，所以不是命题． 判断下列命题的真假，并说明理由． (1)如果学好了数学，那么就会使用电脑； (2)若x＝3或x＝7，则(x－3)(x－7)＝0； (3)正方形既是矩形又是菱形； (4)若a，b都是奇数，则ab必是奇数． 解　(1)是假命题，学好数学与会使用电脑不具有因果关系，因而无法推出结论，故为假命题． (2)是真命题，x＝3或x＝7能得到(x－3)(x－7)＝0. (3)是真命题，由正方形的定义知正方形既是矩形又是菱形． (4)是真命题，令a＝2k1＋1，b＝2k2＋1(k1，k2∈Z)， 则ab＝2(2k1k2＋k1＋k2)＋1， 显然2k1k2＋k1＋k2是一个整数，故ab是奇数． [方法总结]　判断命题真假的策略 (1)要判断一个命题是真命题，一般要有严格的证明或有事实依据，比如根据已学过的定义、公理、定理证明或根据已知的正确结论推证． (2)要判断一个命题是假命题，只要举一个反例即可． [训练2]　判断下列命题的真假，并说明理由． (1)一个数不是合数就是质数． (2)大角所对的边大于小角所对的边． (3)x＋y是有理数，则x，y也都是有理数． 解　(1)是假命题，1不是合数，也不是质数． (2)是假命题，必须在同一个三角形或全等三角形中． (3)是假命题，如x＝，y＝－. 写出下列命题的否定，并判断它们的真假． (1)p：3＋4>6； (2)p：1∈{2，3}； (3)p：4≥4； (4)p：2是合数． 解　(1)3＋4>6是一个简单命题，“>”的否定即是“≤”，所以¬p：3＋4≤6. 由于p是真命题，故命题“¬p”是假命题． (2) ¬p：1∉{2，3}，命题“¬p”是真命题． (3)¬p：4<4，命题“¬