4.2.2 等差数列的前n项和-【帮课堂】2022-2023学年高二数学同步精品讲义（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2 等差数列的前n项和公式 课程标准 课标解读 1． 掌握等差数列前n项和公式及求取思路，熟练掌握等差数列的五个量之间的关系并能由三求二，能用通项与和求通项. 2． 会利用等差数列性质简化求和运算，会利用等差数列前n项和的函数特征求最值. 3． 能处理与等差数列相关的综合问题. 通过本节课的学习，要求能掌握等差数列的通项与前n项和的相关计算公式，能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系，用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题，会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题. 知识点1 等差数列的前n和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 求和公式 Sn＝ Sn＝na1＋d 注：（1）等差数列的前n和公式的推导 对于一般的等差数列{an}，如何求其前n项和Sn？设其首项为a1，公差为d.(倒序相加法) ⇒ 两式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述过程实际上用到了等差数列性质里面的首末“等距离”的两项的和相等． （2）等差数列{an}的前n项和公式的函数特征 Sn＝ Sn＝na1＋d＝n2＋n⇒当d≠0时，Sn关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点(n，Sn)在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线y＝x2＋x上横坐标为正整数的一系列孤立的点．且d>0时图象开口向上，d<0时图象开口向下. （3）公式一反映了等差数列的性质，任意第k项与倒数第k项的和都等于首末两项之和； 【即学即练1】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为． (1)已知，，求； (2)已知，，求； (3)已知，，求； (4)已知，，求． 【解析】(1)等差数列中，，， ， 解得，． ． (2)等差数列中，，， ，即得 ， 解得． (3)等差数列中，，， ， 解得，， ． (4)等差数列中，，， ，，成等差数列， ， 即， 解得． 【即学即练2】（2022·江苏·高二课时练习）设等差数列的前n项和为．已知，． (1)求； (2)求． 【解析】(1)等差数列中，，． ， 解可得，，且在等差数列中，奇数项仍成等差，公差为， ； (2)等差数列中，的相邻两项差为 所以． 【即学即练3】（2022·全国·高二单元测试）等差数列中，，（，），求数列的前项和． 【解析】由