专题27.9 弧长与扇形的面积【八大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（华东师大版）

专题27.9 弧长与扇形的面积【八大题型】 【华东师大版】 【题型1 弧长的计算】 1 【题型2 利用弧长公式求周长】 5 【题型3 利用弧长公式求最值】 9 【题型4 计算扇形面积】 13 【题型5 计算不规则图形的阴影部分面积】 15 【题型6 旋转过程中扫过的路径或面积】 19 【题型7 圆锥的计算】 25 【题型8 圆柱的计算】 26 【知识点1 弧长与扇形的面积】 设的半径为，圆心角所对弧长为， 弧长公式： （弧长的长度和圆心角大小和半径的取值有关） 扇形面积公式： 母线的概念：连接圆锥顶点和底面圆周任意一点的线段。 圆锥体表面积公式：（为母线） 【题型1 弧长的计算】 【例1】（2022秋•黔西南州期末）如图，四边形ABCD是半径为2的⊙O的内接四边形，连接OA，OC．若∠AOC：∠ABC＝4：3，则的长为（　　） A．π B．π C．π D．π 【分析】设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°，由圆周角定理得出∠AOC＝2∠D，求出∠D＝2x°，根据圆内接四边形得出∠ABC+∠D＝180°，求出x，求出∠AOC＝144°，再根据弧长公式求出即可． 【解答】解：设∠AOC＝4x°，∠ABC＝3x°， 由圆周角定理得：∠AOC＝2∠D， ∴∠D＝2x°， ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠ABC+∠D＝180°， ∴3x+2x＝180， 解得：x＝36， 即∠AOC＝144°， ∴的长为π， 故选：A． 【变式1-1】（2022•龙岩模拟）如图，在⊙O中，点C在优弧上，将沿BC折叠后刚好经过AB的中点D．若⊙O的半径为5，AB＝4，则的长是（　　） A． B． C． D．4π 【分析】连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E，由垂定理可知OD⊥AB于点D，由勾股定理可得OD，再利用折叠性质判断AC＝DC，利用等腰三角形性质得到AF＝DF，再证明四边形ODEF为正方形，得到△CFB为等腰直角三角形，计算出弧AC所对圆周角度数，进而得弧AC所对圆心角度数，再代入弧长公式可得弧长． 【解答】解：连接AC，OB，OD，CD，作CF⊥AB于点F，作OE⊥CF于点E， 由垂定理可知OD⊥AB于点D，AD＝BD． 又OB＝5， ∴OD， ∵CA、CD所对的圆周角为∠CBA、∠CBD，且∠CBA＝∠CBD， ∴CA＝CD，△CAD为等腰三角形． ∵CF⊥AB， ∴AF＝DF， 又四边形ODFE为矩形且OD＝DF， ∴四边形ODFE为正方形． ∴， ∴CE2， ∴CF＝CE+EF＝3BF， 故△CFB为等腰直角三角形，∠CBA＝45°， ∴所对的圆心角为90°， ∴． 故选：A． 【变式1-2】（2022•梁园区校级一模）如图1所示是一张圆形纸片，直径AB＝8，现将点A折叠至圆心O形成折痕CD，再把C、D折叠至圆心O处，最后将圆形打开铺平（如图2所示），则的长是（　　） A． B． C． D． 【分析】如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF，由折叠及圆的半径相等可得出△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形，从而可求得∠EOF的度数，再由直径求得半径，则可利用弧长公式求得答案． 【解答】解：如图2，连接AC、AD、OC、OD、OE、OF、CE和DF， 由折叠及圆的半径相等可知，AC＝CO＝OA，AD＝OD＝OA，CE＝OE＝OC，DF＝OF＝OD， ∴△AOC、△COE、△AOD和△DOF都是等边三角形， ∴∠EOF＝360°﹣60°×4＝120°， ∵直径AB＝8， ∴半径为4， ∴的长是π． 故选：A． 【变式1-3】（2022•濮阳二模）如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A、C、D均在小正方形的顶点上，点C、A、D、B均在所画的弧上，若∠CAB＝75°，则的长为 　2π　． 【分析】取CD的中点O，连接OB、OA、AD，根据勾股定理求出AC和AD，根据勾股定理的逆定理求出∠CAD＝90°，得出等腰直角三角形CAD，求出∠ADC＝45°，根据圆周角定理求出∠ABC＝∠ADC，求出∠ACB，再根据圆周角定理求出∠AOB＝2∠ACB，再根据弧长公式求出答案即可． 【解答】解：取CD的中点O，连接OB、OA、AD， ∵小正方形的边长为1， ∴CD＝6， 即CO＝OD＝3， 由勾股定理得：AC＝AD3， ∴AC2+AD2＝（3）2+（3）2＝18+18＝36， ∴AC2+AD2＝CD2， ∴△CAD是等腰直角三角形， ∴∠ADC＝45°，∠CAD＝90°， ∴CD是⊙O的直径，半径OA＝3， ∴∠ABC＝∠ADC＝45°， ∵∠BAC＝75°， ∴∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠CAB＝180°﹣45°﹣75°＝60°， ∴∠AOB＝2∠