专题24.11 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道）-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.11 圆中的计算与证明的综合大题专项训练（50道） 【沪科版】 考卷信息： 本套训练卷共50题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了圆中的计算与证明的综合问题的所有类型！ 一．解答题（共50小题） 1．（2022秋•柯桥区月考）如图，D是⊙O弦BC的中点，A是⊙O上的一点，OA与BC交于点E，已知AO＝8，BC＝12． （1）求线段OD的长； （2）当EOBE时，求DE的长． 【分析】（1）连接OB，先根据垂径定理得出OD⊥BC，BDBC，在Rt△BOD中，根据勾股定理即可得出结论； （2）在Rt△EOD中，设BE＝x，则OEx，DE＝6﹣x，再根据勾股定理即可得出结论． 【解答】解：（1）连接OB． ∵OD过圆心，且D是弦BC中点， ∴OD⊥BC，BDBC， 在Rt△BOD中，OD2+BD2＝BO2． ∵BO＝AO＝8，BD＝6． ∴OD＝2； （2）在Rt△EOD中，OD2+ED2＝EO2． 设BE＝x，则OEx，DE＝6﹣x． （2）2+（6﹣x）2＝（x）2， 解得x1＝﹣16（舍），x2＝4． 则DE＝2． 2．（2022•市中区校级一模）如图，AB是⊙O的直径，C是的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F． （1）求证：CF＝BF； （2）若CD＝6，AC＝8，求⊙O的半径及CE的长． 【分析】（1）要证明CF＝BF，可以证明∠ECB＝∠DBC；AB是⊙O的直径，则∠ACB＝90°，又知CE⊥AB，则∠CEB＝90°，则∠DBC＝90°﹣∠ACE＝∠A，∠ECB＝∠A，则∠ECB＝∠DBC； （2）在直角三角形ACB中，AB2＝AC2+BC2，又知，BC＝CD，所以可以求得AB的长，即可求得圆的半径；再利用面积法求得CE的长． 【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠A＝90°﹣∠ABC． ∵CE⊥AB， ∴∠CEB＝90°， ∴∠ECB＝90°﹣∠ABC， ∴∠ECB＝∠A． 又∵C是的中点， ∴， ∴∠DBC＝∠A， ∴∠ECB＝∠DBC， ∴CF＝BF； （2）解：∵， ∴BC＝CD＝6， ∵∠ACB＝90°， ∴AB10， ∴⊙O的半径为5， ∵S△ABCAB•CEBC•AC， ∴CE． 3．（2022秋•岱岳区期末）已知⊙O的直径为10，点A、点B、点C在⊙O上，∠CAB的平分线交⊙O于点D． （1）如图①，若BC为⊙O的直径，AB＝6，求AC、BD、CD的长； （2）如图②，若∠CAB＝60°，求BD的长． 【分析】（1）利用圆周角定理可以判定△CAB和△DCB是直角三角形，利用勾股定理可以求得AC的长度；利用圆心角、弧、弦的关系推知△DCB也是等腰三角形，所以利用勾股定理同样得到BD＝CD＝5； （2）如图②，连接OB，OD．由圆周角定理、角平分线的性质以及等边三角形的判定推知△OBD是等边三角形，则BD＝OB＝OD＝5． 【解答】解：（1）如图①，∵BC是⊙O的直径， ∴∠CAB＝∠BDC＝90°． ∵在直角△CAB中，BC＝10，AB＝6， ∴由勾股定理得到：AC8． ∵AD平分∠CAB， ∴， ∴CD＝BD． 在直角△BDC中，BC＝10，CD2+BD2＝BC2， ∴易求BD＝CD＝5； （2）如图②，连接OB，OD， ∵AD平分∠CAB，且∠CAB＝60°， ∴∠DAB∠CAB＝30°， ∴∠DOB＝2∠DAB＝60°． 又∵OB＝OD， ∴△OBD是等边三角形， ∴BD＝OB＝OD． ∵⊙O的直径为10，则OB＝5， ∴BD＝5． 4．（2022•济宁）如图，AD为△ABC外接圆的直径，AD⊥BC，垂足为点F，∠ABC的平分线交AD于点E，连接BD，CD． （1）求证：BD＝CD； （2）请判断B，E，C三点是否在以D为圆心，以DB为半径的圆上？并说明理由． 【分析】（1）利用等弧对等弦即可证明． （2）利用等弧所对的圆周角相等，∠BAD＝∠CBD再等量代换得出∠DBE＝∠DEB，从而证明DB＝DE＝DC，所以B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 【解答】（1）证明：∵AD为直径，AD⊥BC， ∴由垂径定理得： ∴根据圆心角、弧、弦之间的关系得：BD＝CD． （2）解：B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 理由：由（1）知：， ∴∠1＝∠2， 又∵∠2＝∠3， ∴∠1＝∠3， ∴∠DBE＝∠3+∠4，∠DEB＝∠1+∠5， ∵BE是∠ABC的平分线， ∴∠4＝∠5， ∴∠DBE＝∠DEB， ∴DB＝DE． 由（1）知：BD＝CD ∴DB＝DE＝DC． ∴B，E，C三点在以D为圆心，以DB为半径的圆上． 5．（2022秋•辛集市期末）如图1，在△ABC中，AB＝AC，⊙O是△ABC的外接圆，过点C作CD∥AB交⊙O于