专题24.1 旋转【十大题型】-2022-2023学年九年级数学下册举一反三系列（沪科版）

专题24.1 旋转【十大题型】 【沪科版】 【题型1 关于原点对称的点的坐标】 1 【题型2 利用旋转的性质求角度】 3 【题型3 利用旋转的性质求线段长度】 6 【题型4 旋转中的坐标与图形变换】 10 【题型5 作图-旋转变换】 14 【题型6 中心对称图形及旋转对称图形】 18 【题型7 旋转中的周期性问题】 20 【题型8 旋转中的多结论问题】 24 【题型9 旋转中的最值问题】 30 【题型10 旋转的综合】 34 【知识点1 关于原点对称的点的坐标】 在平面直角坐标系中，如果两个点关于原点对称，它们的坐标符号相反，即点p（x,y）关于原点对称点为（-x,-y）。 【题型1 关于原点对称的点的坐标】 【例1】（2022春•平阴县期末）点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称，则a+b的值为　﹣1　． 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可直接得到答案． 【解答】解：∵点A（﹣2，3）与点B（a，b）关于坐标原点对称， ∴a＝2，b＝﹣3， ∴a+b＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【变式1-1】（2022秋•雨花区期末）若点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称，则3m+2n的值为　﹣16　． 【分析】平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），记忆方法是结合平面直角坐标系的图形记忆． 【解答】解：∵点A（m，5）与点B（2，n）关于原点对称， ∴m＝﹣2，n＝﹣5， ∴3m+2n＝﹣6﹣10＝﹣16． 故答案为：﹣16． 【变式1-2】（2022秋•常熟市期末）已知点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限，则m的取值范围是　m＜3　． 【分析】根据关于原点对称点的性质可得P在第一象限，进而可得，再解不等式组即可． 【解答】解：∵点P（2m﹣1，﹣m+3）关于原点的对称点在第三象限， ∴点P（2m﹣1，﹣m+3）在第一象限， ∴， 解得：m＜3， 故答案为：m＜3． 【变式1-3】（2022春•永新县期末）已知点P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数，则关于x的分式方程3的解是　x＝﹣2　． 【分析】根据P关于原点对称点在第一象限，得到P横纵坐标都小于0，求出a的范围，确定出a的值，代入方程计算即可求出解． 【解答】解：∵P（3+2a，2a+1）与点P′关于原点成中心对称，若点P′在第二象限，且a为整数， ∴， 解得：a，即a＝﹣1， 当a＝﹣1时，所求方程化为， 解得：x＝﹣2， 经检验x＝﹣2是分式方程的解， 则方程的解为﹣2． 故答案为x＝﹣2 【知识点2 旋转的定义】 在平面内，把一个平面图形绕着平面内某一点O转动一个角度，就叫做图形的旋转，点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角。 我们把旋转中心、旋转角度、旋转方向称为旋转的三要素。 【知识点3 旋转的性质】 旋转的特征： （1）对应点到旋转中心的距离相等； （2） 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角； （3）旋转前后的图形全等。 理解以下几点： （1）图形中的每一个点都绕旋转中心旋转了同样大小的角度。 （2）对应点到旋转中心的距离相等，对应线段相等，对应角相等。 （3）图形的大小与形状都没有发生改变，只改变了图形的位置。 【题型2 利用旋转的性质求角度】 【例2】（2022春•梅州校级期末）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD，若OD＝AD，则∠BOC的度数为　140°　． 【分析】设∠BOC＝α，根据旋转前后图形不发生变化，易证△COD是等边△OCD，从而利用α分别表示出∠AOD与∠ADO，再根据等腰△AOD的性质求出α． 【解答】解：设∠BOC＝α，根据旋转的性质知，△BOC≌△ADC，则OC＝DC，∠BOC＝∠ADC＝α． 又∵△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得到△ADC， ∴∠OCD＝60°， ∴△OCD是等边三角形， ∴∠COD＝∠CDO＝60°， ∵OD＝AD， ∴∠AOD＝∠DAO． ∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°， ∴2×（190°﹣α）+α﹣60°＝180°， 解得α＝140°． 故答案是：140°． 【变式2-1】（2022•南充）如图，将直角三角板ABC绕顶点A顺时针旋转到△AB′C′，点B′恰好落在CA的延长线上，∠B＝30°，∠C＝90°，则∠BAC′为（　　） A．90° B．60° C．45° D．30° 【分析】利用旋转不变性，三角形内角和定理和平角的意义解答即可． 【解答】解：∵∠B＝30°，∠C＝90°， ∴∠CAB＝180°﹣∠B﹣∠C＝60°， ∵将直角