4.4 数学归纳法（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.4 数学归纳法 一、单选题 1．用数学归纳法证明：首项是a1，公差是d的等差数列的前n项和公式是Sn＝na1＋d时，假设当n＝k时，公式成立，则Sk＝（    ） A．a1＋(k－1)d B． C．ka1＋d D．(k＋1)a1＋d 2．用数学归纳法证明时，第一步应验证不等式（    ） A． B． C． D． 3．用数学归纳法证明“1n（n∈N*）”时，由假设n＝k（k＞1，k∈N“）不等式成立，推证n＝k+1不等式成立时，不等式左边应增加的项数是（    ） A．2k﹣1 B．2k﹣1 C．2k D．2k+1 4．对于不等式，某同学用数学归纳法证明的过程如下： ①当时，，不等式成立； ②假设当时，不等式成立，即， 则当时，. 故当时，不等式成立. 则上述证法（    ） A．过程全部正确 B．的验证不正确 C．的归纳假设不正确 D．从到的推理不正确 5．用数学归纳法证明“能被9整除”，在假设时命题成立之后，需证明时命题也成立，这时除了用归纳假设外，还需证明的是余项（    ）能被9整除. A． B． C． D． 二、多选题 6．对于不等式，某同学运用数学归纳法的证明过程如下：①当时，，不等式成立.②假设当时，不等式成立，即，则当时，，所以当时，不等式成立.上述证法（    ） A．过程全部正确 B．时证明正确 C．过程全部不正确 D．从到的推理不正确 7．用数学归纳法证明对任意的自然数都成立，则以下满足条件的的值中正确的为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 8．正项数列满足，，数列满足，则（    ） A． B． C．的前项积为 D．的前2n项积为 三、填空题 9．用数学归纳法证明命题“1++…+(n∈N+，且n≥2)”时，第一步要证明的结论是________. 10．已知数列的前项和为，满足，，则___________. 11．已知函数，若，，…，，猜想的函数表达式为______． 四、解答题 12．用数学归纳法证明：如果是一个公差为d的等差数列，那么对任何都成立． 13．数列中，表示前n项和，且成等差数列． （1）计算的值； （2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想． 14．设x为正实数，n为大于1的正整数，若数列1，，，…，，…的前n项和为，试比较与n的大小，并用数学归纳法证明你的结论． 参考答案： 1．C 【分析】只需把公式中的n换成k即可． 【详解】假设当n＝k时，公式成立，只需把公式中的n换成k即可，即Sk＝ka1＋d. 故选: C 2．B 【分析】取即可得到第一步应验证不等式. 【详解】由题意得，当时，不等式为． 故选：B． 3．C 【分析】根据数学归纳法的步骤即可求解. 【详解】在用数学归纳法证明“（n∈N*）”时 假设当时不等式成立，左边= 则当时，左边= 则由递推到时不等式左边增加了： 共， 故选：C 4．D 【分析】根据数学归纳法证明的基本过程可得出结论. 【详解】在时，没有应用时的假设，即从到的推理不正确. 故选：D. 【点睛】本题考查数学归纳法，考查对数学归纳法证明过程的理解，属于基础题. 5．B 【分析】假设时命题成立，即能被9整除，计算当时，，即可得解. 【详解】解：假设时命题成立，即能被9整除， 当时， 能被9整除 要证上式能被9整除，还需证明也能被9整除 故选： 【点睛】本题考查数学归纳法，数学归纳法是证明一个与自然数集相关的性质，其步骤为：设是关于自然数的命题，若（奠基）在时成立；（归纳） 在为任意自然数）成立的假设下可以推出成立，则对一切自然数都成立． 6．BD 【分析】直接利用数学归纳法的步骤进行判断即可. 【详解】易知当时，该同学的证法正确.从到的推理过程中，该同学没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求，故推理不正确. 故选：BD. 7．CD 【分析】先验证四个选项中符合要求的的值，再用数学归纳法进行充分性证明. 【详解】当时，，不合要求，舍去 当时，，不合要求，舍去； 当时，，符合题意， 当时，，符合题意， 下证：当时，成立， 当时，成立， 假设当时，均有，解得： 当时，有， 因为， 所以成立， 由数学归纳法可知：对任意的自然数都成立， 故选：CD 8．ABC 【分析】利用的递推公式列出数列的前几项，即可猜想，再利用数学归纳法证明，即可判断A、B，再根据指数的运算法则及等比数列前项和公式计算即可判断C、D； 【详解】解：因为，，所以，，，可猜想，当时，成立，假设时，所以也成立，所以，故A正确； 因为，所以，，故，故B正确； 其中，所以，故C正确； ，故D错误； 故选：ABC 9． 【解析】根据数学归纳法的步骤可知第一步要证明时的不等式成立. 【详解】因为n≥2，所以第一步要证的是当n=2时结论成立，即1+. 故答案为： 10． 【分析