4.2.2 等差数列的前n项和公式（同步练习）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2 等差数列的前n项和公式 一、单选题 1．在等差数列中，若，则其前9项的和等于（    ） A．18 B．27 C．36 D．9 2．已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，若a1＝1，a3＝5，Sn＝64，则n＝（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 3．数列{an}满足，且，，是数列的前n项和，则（    ） A． B． C． D． 4．南宋数学家在《详解九章算法》和《算法通变本末》中提出了一些新的垛积公式，所讨论的高阶等差数列与一般等差数列不同，高阶等差数中前后两项之差并不相等，但是逐项差数之差或者高次差成等差数列.现有高阶等差数列，其前7项分别为1，2，5，10，17，26，37，则该数列的第19项为（    ） A．290 B．325 C．362 D．399 5．已知各项为正的数列的前n项和为 ，满足 ，则的最小值为（　　） A．4 B．3 C．22 D． 二、多选题 6．已知等差数列 的前n项和为 ，且 ，则（　　） A．在数列中， 最大 B．在数列中， 或 最大 C．   D．当 时， 7． 已知是数列的前项和，，则（    ） A． B． C． 当时， D． 当数列单调递增时，的取值范围是 8．古希腊人十分重视数学与逻辑，闲暇之余喜欢在沙滩上玩数字游戏，如图，古希腊学者用石头摆出三角形图案，第1行有1颗石头，第2行有2颗，以此类推，第行有颗，第行第颗 石头记为表示从第1行第1颗至第行第颗石头的总数，设，则 （    ） A． B． C． D． 三、填空题 9．若等差数列，的前项和分别为，，满足，则_______. 10．已知一个等差数列的前四项和为21，末四项和为67，前项和为77，则项数的值为___________. 11．已知等差数列的前项和为，，，则___________. 四、解答题 12．已知为数列的前项和，且（，为常数），若，．求： (1)数列的通项公式； (2)的最值． 13．已知一个等差数列的前4项和为32，前8项和为56． (1)求、的值； (2)通过计算观察，寻找、、、之间的关系，你发现什么结论？ (3)根据上述结论，请你归纳出对于等差数列而言的一般结论，并证明． 14．已知数列中，，（，），数列满足． (1)证明是等差数列，并求的通项公式； (2)求； (3)求数列中的最大项和最小项，并说明理由． 参考答案： 1．A 【分析】根据等差数列的性质计算出，利用等差数列求和公式求出答案. 【详解】因为是等差数列，所以，解得：， 所以. 故选：A 2．C 【分析】利用等差数列的性质以及前n项和公式进行求解. 【详解】因为{an}为等差数列，a1＝1，a3＝5， 所以公差，又Sn＝64， 所以， 解得n＝8(负值舍去)．故A，B，D错误. 故选：C. 3．B 【分析】根据递推公式得到数列是等差数列，进而求出公差和通项公式，求出，得到答案. 【详解】数列满足，则数列是等差数列， 设等差数列的公差为. 因为， 所以，即. 所以， 所以，， ， 所以，. 故选：B 4．B 【分析】先由条件判断该高阶等差数列为逐项差数之差成等差数列，进而得到，再利用累加法求得，进而可求得. 【详解】设该数列为，则由，，，，… 可知该数列逐项差数之差成等差数列，首项为1，公差为2，故， 故， 则，，，…，， 上式相加，得， 即，故. 故选：B. 5．A 【分析】由数列的递推式可得，继而结合求出，从而求得，由此求出的表达式，利用基本不等式即可求得答案. 【详解】各项为正的数列, , ∵，∴ ， ∴ 时， ， 化为： ， ∵ , 又 ，解得 ． ∴数列是等差数列，首项为1，公差为2． ∴ , ∴, ∴ , ，当且仅当n=2时取等号, ∴的最小值为4． 故选：A． 6．AD 【分析】根据，且，可推出，，故，可判断AD正确，B错误，结合等差数列的性质可判断，判断C. 【详解】为等差数列，∵，且， ∴ ， 即， ∴{an}是递减等差数列，最大，当 时，，当 时，， 故AD正确，B错误， ， 则 ，故C错误， 故选：AD． 7．ACD 【分析】A选项，根据，得到，A正确； 与得到，当时，不成立，B错误； 当时，得到为奇数时为等差数列，为偶数时也是等差数列，利用等差数列求和公式得到答案； D选项，方法一：根据，，，依次类推可知； 方法二：写出，，根据且求出答案. 【详解】，① 时，，② ①－②，，A正确； 当时，，即； 当时，， ∴，时，不满足条件，B错误； 时,因为，所以，则，满足，故此时①， 又②，两式相减得：， 为奇数时是首项为0，公差为2的等差数列，共25项； 为偶数时是首项为1，公差为2的等差数列，共25项， 所以， C正确； 是单调递增数列，∴，即，即； ，即，即； ，即，即，即， ，即，依次