4.2.2 等差数列的前n项和公式（基础知识+基本题型）（含解析）-【一堂好课】2022-2023学年高二数学同步名师重点课堂（人教A版2019选择性必修第二册）

4.2.2等差数列的前n项和公式 （基础知识+基本题型） 知识点一 等差数列前项和公式 1．等差数列前项和公式 已知量 首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 2．等差数列前项和公式的推导 设等差数列的各项为，，，．．．，，，，． 由等差数列的通项公式，得．① 再把各项的次序反过来，又可以写成．② 将①②两边分别相加，得． 所以． 这就是等差数列的前项和公式，我们将这种求和的方法叫做倒序相加法，将代入上式，得． 故等差数列的前项和公式为，． ◢拓展◣ （1）等差数列的通项公式和前项和公式共涉及5个量：，，，，，其中和称为基本量．如果等差数列的首项与公差已知，那么此数列完全确定，因此等差数列中不少问题都可以转化为求基本量和的问题． （2）三个公式中有2个参数（即，）和3个变量（即，，）．如果给出其中任意3个量，那么就可以通过联立方程组求出另外2个量，联立方程组并解方程组是等差数列的基本解题方法． （3）当已知首项，末项及项数时，用公式求前项和，用此公式时，有时要结合等差数列的性质；当已知首项，公差及项数时，用公式求前项和． 知识点二 等差数列的前项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和公式．若令，，则上式可写成，即是关于项数的函数． （1）当，时（此时，），是关于的常数函数； （2）当，时（此时，），是关于的一次函数（正比例函数）； （3）当，时（此时），是关于的二次函数． 前项和与二次函数的关系列表如下： 区别 联系 定义域为 图象是一系列孤立的点 （1）解析式是二次式； （2）的图象是抛物线上的一系列点 定义域为 图象是一条光滑的抛物线 ◢拓展◣ 求等差数列的前项和的最值有两种方法： （1）由二次函数的最值特征得解． 由二次函数的最大值、最小值知识及，知当取得接近的正整数时，取到最大值（或最小值）．值得注意的是最接近的正整数有时有1个，有时有2个． （2）确定前项和的最大值和最小值． ①当，时，若则最大；若则和最大． ②当，时，若则最小；若则和最小． 知识点三 等差数列前项和的主要性质 1．项数（下标）的“等和”性质： 2．项的个数的“奇偶”性质： 等差数列中，公差为： ①若共有项，则；；． ②若共有项，则；；． 3．“片段和”性质： 等差数列中，公差为，前项的和为，则，，，．．．，，．．．构成公差为的等差数列． ◢拓展◣ （1）对性质“若数列有项，则；；”的证明 当等差数列的项数为时，，所以．因为偶数项的首项为，偶数项构成以为公差的等差数列；奇数项的首项为，奇数项构成以为公差的等差数列，且项数都为，所以，．所以，． （2）对“片段和”性质的证明 设等差数列的首项为，公差为，则，，． 又因为为数列第项到第项这项的和，所以． 同理，．．．， ，．．．， 所以，，，．．．，，．．．构成等差数列，且公差为． 考点一 与等差数列前项和有关的基本计算 例1 已知数列为等差数列，其前项和记为． （1）若，则； （2）若等差数列的公差，，求． 解：（1）因为， 所以． （2）由，解得． 故． 一般地，对于等差数列的五个量：，，，，，知道其中任意三个量，通过解方程组可以求得另外两个量，即“知三求二”．对此类问题，注意利用等差数列的性质以简化计算过程． 例2在等差数列中，，．求数列的前项和 解：由，，知等差数列的公差， 所以． 由，知，即， 故中前项是负数，从第项起为非负数． 设和分别表示和的前项和． 当时，． 当时， ． 综上可知，． 对于含有绝对值的问题，首先要考虑去绝对值号，所以需要由不等式组或来找出满足条件的临界值． 考点二 等差数列的前项和的最值问题 例3数列是等差数列，，． （1）从第几项开始有？ （2）求此数列的前项和的最大值． 解：（1）因为，， 所以． 令，则． 由于，故当时，， 即从第项开始各项均小于． （2）方法1：． 当取接近于的自然数，即时，取到最大值． 方法2：因为，，由（1），知，， 所以，且． 所以． 解决此类问题有两种思路：一是利用等差数列的前项和公式，可用配方法求最值，也可用顶点坐标法求最值；二是依据等差数列的通项公式，当时，数列一定为递增数列，当时，数列一定为递减数列．所以当，且时，无穷等差数列的前项和有最大值，其最大值是所有非负项的和；当，且时，无穷等差数列的前项和有最小值，其最小值是所有非正项的和，求解非负项是哪一项时，只要令即可． 考点三 等差数列的前项和性质的应用 例4 项数为奇数的等差数列，奇数项之和为，偶数项之和为，求这个数列的中间项及项数． 分析：根据等差数列中的奇数项依次仍成等差数列，偶数项依次仍成等差数列可求解． 解：设等差数列共有项， 则奇数项有个，偶数项有个，中间项是第项，即， 所以，解得． 又因为，所